Sistema de referència

Eixos de coordenades emprats habitualment en matemàtiques

En cinemàtica, un sistema de referència és un conjunt de magnituds per poder mesurar la posició d'un objecte en el temps i en l'espai.^[1] Un sistema compost per coordenades espacials (amb les que l'observador pot caracteritzar l'esdeveniment amb les seves coordenades x, y, z) i per un instant t, que és el moment en què succeeix.^[1]^[2]

El primer element és el punt de referència. Consisteix en un punt escollit arbitràriament, pertanyent a un objecte físic, a partir del qual es prenen totes les mesures. El segon element són els eixos de coordenades. Els eixos de coordenades tenen com a origen el punt de referència, i serveixen per determinar la direcció i el sentit del cos en moviment. Quan l'objecte es mou en línia recta, només fa falta un eix. Quan es mou per un pla fan falta dos eixos. Per moviments en l'espai, s'empren tres eixos. Els eixos de coordenades més emprats són els eixos usuals a les matemàtiques, anomenats (x,y,z), on l'eix x és horitzontal, positiu cap a la dreta i negatiu cap a l'esquerra; l'eix y és vertical, positiu cap amunt i negatiu cap avall; i l'eix z mesura la profunditat, positiu quan s'apropa i negatiu quan s'allunya.

Quan s'estudien moviments respecte a la superfície de la Terra, s'acostuma a fer passar l'eix y o l'eix z pel centre de la Terra, amb l'origen de coordenades situat a la superfície.

El tercer element és l'origen en el temps, un instant a partir del qual es mesura el temps. Aquest instant acostuma a coincidir amb un succés concret, com el naixement de Crist que s'empra com a origen al calendari cristià. En cinemàtica l'origen temporal coincideix moltes vegades amb l'inici del moviment que s'estudia.

Aquests tres elements: punt de referència, eixos de coordenades i origen temporal, formen el sistema de referència. Però per poder emprar un sistema de referència calen unes unitats de mesura que ens serveixin per quantificar. Les unitats són convencionals, i es defineixen agafant com a referència elements físicament constants. A un conjunt d'unitats i les seves relacions se l'anomena sistema d'unitats. En el Sistema Internacional d'Unitats o S.I., s'empra el metre com unitat de l'espai i el segon com unitat del temps.

El sistema de referència depèn del model físic que s'estudia i s'escull de manera que faci l'estudi més fàcil. Els resultats finals són independents del sistema escollit. A vegades convé emprar diferents sistemes pel mateix problema.

La no existència d'un sistema de referència absolut, i les relacions que s'estableixen entre diferents sistemes de referència, són estudiades per la relativitat clàssica de Galileo Galilei.

Definició

La necessitat de distingir entre els diferents significats de "marc de referència" ha donat lloc a una varietat de termes. Per exemple, de vegades s'afegeix com a modificador el tipus de sistema de coordenades, com a marc de referència cartesià. De vegades s'emfatitza la forma en què es transforma els marcs considerats relacionats, com en Sistema de referència inercial. De vegades els marcs es distingeixen per l'escala de les seves observacions, com en marcs de referència macroscòpics i microscòpics.^[3]

En aquest article, el terme marc de referència observacional s'utilitza quan es posa l'accent en l'estat de moviment més que en l'elecció de coordenades o en el caràcter de les observacions o de l'aparell d'observació. En aquest sentit, un marc de referència observacional permet estudiar l‟efecte del moviment sobre tota una família de sistemes de coordenades que podrien acoblar-se a aquest marc. D'altra banda, un sistema de coordenades pot emprar-se per a moltes finalitats en què l'estat de moviment no és la principal preocupació. Per exemple, podeu adoptar un sistema de coordenades per aprofitar la simetria d'un sistema. En una perspectiva encara més àmplia, la formulació de molts problemes en física empra coordenades generalitzades', modes normals o vectors propis, que només estan relacionats directament amb l'espai i el temps. Sembla útil divorciar els diferents aspectes d'un marc de referència per a la discussió següent. Per tant, prenem els marcs de referència observacionals, els sistemes de coordenades i els equips observacionals com a conceptes independents, separats com segueix:

Un marc d'observació (com un marc inercial o marc de referència no inercial) és un concepte físic relacionat amb l'estat de moviment.
Un sistema de coordenades és un concepte matemàtic, que equival a una elecció del llenguatge utilitzat per descriure observacions.^[4] En conseqüència, un observador en un marc de referència observacional pot triar emprar qualsevol sistema de coordenades (cartesià, polar, curvilini, generalitzat,...) per descriure les observacions fetes des d'aquest marc de referència. Un canvi en l'elecció d'aquest sistema de coordenades no canvia l'estat de moviment d'un observador i, per tant, no implica un canvi en el marc de referència observacional de l'observador. Aquest punt de vista es pot trobar a altres llocs també.^[5] Això no implica que alguns sistemes de coordenades no siguin millors que altres per a algunes observacions.

L'elecció de què cal mesurar i amb quin aparell d'observació és una qüestió independent de l'estat de moviment de l'observador i de l'elecció del sistema de coordenades.

^[a]

Introducció

Mecànica clàssica

És una de les grans subdivisions de la mecànica, es refereix a un conjunt de lleis físiques que descriuen el comportament dels cossos sotmesos a l'acció d'un sistema de forces, descriu de manera força precisa gran part dels fenòmens mecànics que podem observar directament a la nostra vida quotidiana. L'altra gran subdivisió és la mecànica quàntica.

La mecànica clàssica és aplicable als cossos continus, a velocitats baixes (és a dir, molt per sota de la velocitat de la llum) i de mida molt més gran que els àtoms o les molècules. La podem utilitzar per descriure el moviment de tota classe d'objectes macroscòpics, des dels projectils fins a parts de les màquines passant pels objectes astronòmics com les naus espacials, els planetes, les estrelles o les galàxies. Dins d'aquests dominis ofereix resultats força acurats, es tracta d'una de les matèries més antigues en ciència, enginyeria i tecnologia.

Si un objecte es mou en línia recta, només cal un eix per descriure el seu moviment. Quan es mou per un pla calen almenys dos eixos. Per a moviments a l'espai s'utilitzen tres eixos. Les coordenades més utilitzades són les coordenades cartesianes, designades (x,y,z), on x és la projecció sobre "l'eix horitzontal" (x és positiu cap a la dreta i negatiu cap a l'esquerra); y és la coordenada vertical, positiu cap amunt i negatiu cap avall; i z mesura la profunditat, positiu quan s'acosta i negatiu quan s'allunya. Quan s'estudien moviments respecte a la superfície de la Terra, s'acostuma a fer passar l'eix y o l'eix z pel centre de la Terra, amb l'origen de coordenades situat a la superfície.

Donats dos sistemes de referència R₁ i R₂, amb un origen de temps i que es mouen amb una velocitat constant un respecte a l'altre, les coordenades dels dos sistemes de coordenades estan relacionats mitjançant:

${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{xx}&r_{xy}&r_{xz}\\r_{yx}&r_{yy}&r_{yz}\\r_{zx}&r_{zy}&r_{zz}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-x_{0}-v_{x}t\\y_{1}-y_{0}-v_{y}t\\z_{1}-z_{0}-v_{z}t\end{pmatrix}}$

On:

r_{ij}\,

, són els components duna matriu ortogonal que representa la rotació necessària per donar als dos sistemes la mateixa orientació.

v_{i}\,

, són les components de la velocitat del sistema 1 respecte al 2.

(x_{0},y_{0},z_{0})\,

, és la posició de l'origen de coordenades 2 respecte a l'origen de coordenades d'1 a l'instant t = 0.

Mecànica largrangiana

És una reformulació de la mecànica clàssica newtoniana introduïda per Joseph Louis Lagrange el 1788. En la formulació lagrangiana, la trajectòria d'un objecte es troba cercant la trajectòria tal que l'acció, S, té un valor estacionari (). L'acció és la suma (la integral, de fet) en el temps d'una funció anomenada lagrangià, definida com a l'energia cinètica menys l'energia potencial. Cal remarcar que no es tracta de cap teoria nova, és simplement la mecànica newtoniana amb eines matemàtiques més sofisticades. L'avantatge és que en aquest cas, el plantejament i les equacions resultants que cal resoldre són molt més simples.

Mècanica relativista

El sistema de referència en relativitat és més complexa, ja que en general no pot establir-se un origen de temps vàlid per a qualsevol observador amb independència del punt de l'espai en què es trobi. En principi un sistema de referència queda definit en relativitat especificant un conjunt d'observadors repartits inicialment per una hipersuperfície de l'espai temps. Hi ha sistemes que anomenats sincronitzaves que si permeten establir un origen de temps comú, però aquests sistemes només poden existir en un espaitemps estacionari. Els problemes associats a la "relativitat del temps" obliguen que la definició de sistema de referència en teoria de la relativitat general sigui notòriament més complicada que en mecànica clàssica.

La relativitat general es defineix un sistema de referència com un conjunt d'observadors locals, és a dir, un sistema de referència és un camp vectorial, les corbes integrals són, observadors locals, és a dir, corbes temporals.

Sistema de referència inercial i no inercial

Sistema de referència inercial

Un sistema inercial és un sistema no sotmès a cap força exterior i que, per tant, es desplaça a velocitat constant. Aquests sistemes són els únics que compleixen les tres lleis de Newton. En cas contrari, es diu que és un sistema de referència no inercial.

Donat un sistema de referència inercial, un segon sistema de referència serà no inercial quan descrigui un moviment accelerat respecte al primer. L'acceleració del sistema no inercial pot ser deguda a:

Un canvi en el mòdul de la seva velocitat de translació (acceleració lineal).
Un canvi en la direcció de la seva velocitat de translació (per exemple, en un moviment de gir al voltant d'un sistema de referència inercial).

Sistema de referència no inercial

Un sistema de referència és no inercial quan en ell no es compleixen les Lleis del moviment de Newton. Donat un sistema de referència inercial, un segon sistema de referència serà no inercial quan descrigui un moviment accelerat respecte al primer. L'acceleració del sistema no inercial pot ser deguda a:

Un canvi en el mòdul de la seva velocitat de translació (acceleració lineal).
Un canvi en la direcció de la seva velocitat de translació (per exemple en un moviment de gir al voltant d'un sistema de referència inercial).

Aparell de mesura

Un altre aspecte d'un marc de referència és el paper de la metrologia (per exemple, rellotges i varetes) unit al marc. Aquesta pregunta no es tracta en aquest article, i és de particular interès en mecànica quàntica, on la relació entre l'observador i el mesurament encara està en discussió (vegeu problema de mesura).

En els experiments de física, el marc de referència en què els dispositius de mesurament de laboratori estan en repòs se sol denominar marc de laboratori. Un exemple seria el quadre en què estan en repòs els detectors d'un accelerador de partícules. El marc de laboratori en alguns experiments és un marc inercial, però no cal que ho sigui (per exemple, el laboratori a la superfície de la Terra en molts experiments de física no és inercial). En els experiments de física de partícules, sovint és útil transformar les energies i els moments de les partícules des del marc de laboratori on es mesuren, al centre del marc de moment "marc COM" en què de vegades se simplifiquen els càlculs, ja que potencialment tot el cinètic de l'energia encara present en el marc COM es pot fer servir per fer noves partícules.

Respecte d'això, es pot assenyalar que els rellotges i les varetes que sovint es fan servir per descriure l'equip de mesura dels observadors en el pensament, a la pràctica es reemplacen per una metrologia molt més complicada i indirecta que està relacionada amb la naturalesa del buit, i utilitza rellotges atòmics que operen d'acord amb el model estàndard i que han de ser corregits per la dilatació del temps gravitacional.^[10] (Vegeu segon, metre i quilogram).

De fet, Einstein va sentir que els rellotges i les varetes eren simplement dispositius de mesura convenients i haurien de ser reemplaçats per entitats més fonamentals basades, per exemple, en àtoms i molècules.^[11]

Notes

↑ Aquí hi ha una cita aplicable als marcs observacionals en moviment

{\mathfrak {R}}

i diversos sistemes de coordenades triespacials euclidians associats [R, R′, etc.]:^[6]

«

Primer introduïm la noció de marc de referència, relacionada alhora amb la idea d′observador: el marc de referència és, en cert sentit, l'espai euclidià que porta l'observador. Donem una definició més matemàtica:... el marc de referència és... el conjunt de tots els punts de l'espai euclidià amb el moviment de cos rígid de l'observador. El marc, denotat

{\mathfrak {R}}

, es diu que es mou amb l'observador.... Les posicions espacials de les partícules s'etiqueten relatives a un marc

{\mathfrak {R}}

establint un "sistema de coordenades" "R" amb origen "O". El conjunt d'eixos corresponent, que comparteixen el moviment de cos rígid del marc

{\mathfrak {R}}

, es pot considerar que dóna una realització física de

{\mathfrak {R}}

. En un marc

{\mathfrak {R}}

, les coordenades es canvien de R a R realitzant, en cada instant de temps, la mateixa transformació de coordenades sobre les components dels objectes intrínsecs (vectors i tensors) introduïts per representar les magnituds físiques en aquest marc.

»

.

i això sobre la utilitat de separar les nocions de ${\mathfrak {R}}$ i [R, R′, etc.]:^[7]

«	Com va assenyalar Brillouin, cal distingir entre els conjunts matemàtics de coordenades i els marcs físics de referència. La ignorància de tal distinció és la font de molta confusió... les funcions dependents com la velocitat, per exemple, es mesuren respecte a un marc de referència físic, però un és lliure de triar qualsevol sistema de coordenades matemàtiques en què es especifiqueu les equacions.	»
— L. Brillouin en Relativity Reexamined (citat per Patrick Cornille a Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory p. 149)

i això, també sobre la distinció entre ${\mathfrak {R}}$ i [R, R′, etc.]:^[8]

«

La idea d'un marc de referència és realment molt diferent de la d'un sistema de coordenades. Els marcs difereixen només quan defineixen diferents espais (conjunts de punts de repòs) o temps (conjunts de successos simultanis) Així doncs, les idees d'espai, temps, repòs i simultaneïtat van inextricablement unides a la de marc. Tanmateix, un simple desplaçament de l'origen, o una rotació purament espacial de les coordenades espacials, dóna lloc a un nou sistema de coordenades. Així que els marcs corresponen en el millor dels casos a classes de sistemes de coordenades.

»

i de J. D. Norton:^[9]

«

En els desenvolupaments tradicionals de la relativitat especial i general, ha estat costum no distingir entre dues idees ben diferents. La primera és la noció de sistema de coordenades, entesa simplement com l'assignació suau i invertible de quatre números a successos en veïnats espaciotemporals. La segona, el marc de referència, es refereix a un sistema idealitzat utilitzat per assignar aquests números [...] Per evitar restriccions innecessàries, podem divorciar aquesta disposició de les nocions mètriques. [...] D'especial importància per als nostres propòsits és que cada marc de referència té un estat definit de moviment a cada esdeveniment de l'espai-temps. [...] Dins del context de la relativitat especial i mentre ens restringim als sistemes de referència en moviment inercial, aleshores poca importància depèn de la diferència entre un sistema de referència inercial i el sistema de coordenades inercials que indueix. Aquesta còmoda circumstància cessa immediatament una vegada que comencem a considerar marcs de referència en moviment no uniforme, fins i tot dins de la relativitat especial... Més recentment, per negociar les òbvies ambigüitats del tractament d'Einstein, la noció de marc de referència ha reaparegut com a estructura diferent d'un sistema de coordenades.

»

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 «Sistema de referència». Gran Enciclopèdia Catalana. [Consulta: 6 octubre 2022].
↑ Kovalevsky, J.; Mueller, Ivan I. «Introduction». A: Reference Frames. 154. Springer Netherlands, 1989, p. 1–12 (Astrophysics and Space Science Library). DOI 10.1007/978-94-009-0933-5_1. ISBN 978-94-010-6909-0.
↑ La distinció entre marcs macroscòpics i microscòpics apareix, per exemple, en electromagnetisme, on s'utilitzen relacions constitutives de diverses escales de temps i longitud per determinar les densitats de corrent i càrrega que entren a equacions de Maxwell . Vegeu, per exemple, Kurt Edmund Oughstun. Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media. Springer, 2006, p. 165. ISBN 0-387-34599-X. . Aquestes distincions també apareixen en termodinàmica. Paul McEvoy. Teoría clásica. MicroAnalytix, 2002, p. 205. ISBN 1-930832-02-8. .
↑ . En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos xⁱ = xⁱ (t) en un grup de Lie complex; Lev Semenovich Pontri͡agin. L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups. 3rd. Gordon and Breach, 1986, p. 429. ISBN 2-88124-133-6. . De manera menys abstracta, un sistema de coordenades en un espai de n dimensions es defineix en termes d'un conjunt base de vectors {e₁, e₂,... e_n}; Edoardo Sernesi. Linear Algebra: A Geometric Approach. CRC Press, 1993, p. 95. ISBN 0-412-40680-2. Com a tal, el sistema de coordenades és una construcció matemàtica, un llenguatge que pot estar relacionat amb el moviment, però que no té una connexió necessària amb el moviment.
↑ J X Zheng-Johansson. Unificación de la mecánica clásica, cuántica y relativista y de las cuatro fuerzas. Nova Publishers, 2006, p. 13. ISBN 1-59454-260-0.
↑ Jean Salençon. Handbook of Continuum Mechanics: Conceptos generales, termoelasticidad. Springer, 2001, p. 9. ISBN 3-540-41443-6.
↑ Patrick Cornille (Akhlesh Lakhtakia, editor). Ensayos sobre los aspectos formales de la teoría electromagnética. World Scientific, 1993, p. 149. ISBN 981-02-0854-5.
↑ Lo que explica el espaciotiempo: Ensayos metafísicos sobre espacio y tiempo. Cambridge University Press, 1994, p. 64. ISBN 0-521-45261-9.
↑ John D. Norton (1993). La covariància general i els fonaments de la relativitat general: vuit dècades de disputa, Rep. Prog. Phys.', 56', pp. 835-7.
↑ Richard Wolfson. Simply Einstein. W W Norton & Co., 2003, p. 216. ISBN 0-393-05154-4.
↑ Véase Guido Rizzi. Relativity in rotating frames. Springer, 2003, p. 33. ISBN 1-4020-1805-3.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sistema de referència

[10] Aquí hi ha una cita aplicable als marcs observacionals en moviment ${\mathfrak {R}}$ i diversos sistemes de coordenades triespacials euclidians associats [R, R′, etc.]:^[6]

« Primer introduïm la noció de marc de referència, relacionada alhora amb la idea d′observador: el marc de referència és, en cert sentit, l'espai euclidià que porta l'observador. Donem una definició més matemàtica:... el marc de referència és... el conjunt de tots els punts de l'espai euclidià amb el moviment de cos rígid de l'observador. El marc, denotat ${\mathfrak {R}}$ , es diu que es mou amb l'observador.... Les posicions espacials de les partícules s'etiqueten relatives a un marc ${\mathfrak {R}}$ establint un "sistema de coordenades" "R" amb origen "O". El conjunt d'eixos corresponent, que comparteixen el moviment de cos rígid del marc ${\mathfrak {R}}$ , es pot considerar que dóna una realització física de ${\mathfrak {R}}$ . En un marc ${\mathfrak {R}}$ , les coordenades es canvien de R a R realitzant, en cada instant de temps, la mateixa transformació de coordenades sobre les components dels objectes intrínsecs (vectors i tensors) introduïts per representar les magnituds físiques en aquest marc. »
.
i això sobre la utilitat de separar les nocions de ${\mathfrak {R}}$ i [R, R′, etc.]:^[7]

« Com va assenyalar Brillouin, cal distingir entre els conjunts matemàtics de coordenades i els marcs físics de referència. La ignorància de tal distinció és la font de molta confusió... les funcions dependents com la velocitat, per exemple, es mesuren respecte a un marc de referència físic, però un és lliure de triar qualsevol sistema de coordenades matemàtiques en què es especifiqueu les equacions. »

— L. Brillouin en Relativity Reexamined (citat per Patrick Cornille a Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory p. 149)

i això, també sobre la distinció entre ${\mathfrak {R}}$ i [R, R′, etc.]:^[8]

« La idea d'un marc de referència és realment molt diferent de la d'un sistema de coordenades. Els marcs difereixen només quan defineixen diferents espais (conjunts de punts de repòs) o temps (conjunts de successos simultanis) Així doncs, les idees d'espai, temps, repòs i simultaneïtat van inextricablement unides a la de marc. Tanmateix, un simple desplaçament de l'origen, o una rotació purament espacial de les coordenades espacials, dóna lloc a un nou sistema de coordenades. Així que els marcs corresponen en el millor dels casos a classes de sistemes de coordenades. »

i de J. D. Norton:^[9]

« En els desenvolupaments tradicionals de la relativitat especial i general, ha estat costum no distingir entre dues idees ben diferents. La primera és la noció de sistema de coordenades, entesa simplement com l'assignació suau i invertible de quatre números a successos en veïnats espaciotemporals. La segona, el marc de referència, es refereix a un sistema idealitzat utilitzat per assignar aquests números [...] Per evitar restriccions innecessàries, podem divorciar aquesta disposició de les nocions mètriques. [...] D'especial importància per als nostres propòsits és que cada marc de referència té un estat definit de moviment a cada esdeveniment de l'espai-temps. [...] Dins del context de la relativitat especial i mentre ens restringim als sistemes de referència en moviment inercial, aleshores poca importància depèn de la diferència entre un sistema de referència inercial i el sistema de coordenades inercials que indueix. Aquesta còmoda circumstància cessa immediatament una vegada que comencem a considerar marcs de referència en moviment no uniforme, fins i tot dins de la relativitat especial... Més recentment, per negociar les òbvies ambigüitats del tractament d'Einstein, la noció de marc de referència ha reaparegut com a estructura diferent d'un sistema de coordenades. »

[gec-1] 1,0 ^1,1 «Sistema de referència». Gran Enciclopèdia Catalana. [Consulta: 6 octubre 2022].

[Kovalevsky_Mueller_1989_pp._1–12-2] Kovalevsky, J.; Mueller, Ivan I. «Introduction». A: Reference Frames. 154. Springer Netherlands, 1989, p. 1–12 (Astrophysics and Space Science Library). DOI 10.1007/978-94-009-0933-5_1. ISBN 978-94-010-6909-0.

[macroscópico-3] La distinció entre marcs macroscòpics i microscòpics apareix, per exemple, en electromagnetisme, on s'utilitzen relacions constitutives de diverses escales de temps i longitud per determinar les densitats de corrent i càrrega que entren a equacions de Maxwell . Vegeu, per exemple, Kurt Edmund Oughstun. Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media. Springer, 2006, p. 165. ISBN 0-387-34599-X. . Aquestes distincions també apareixen en termodinàmica. Paul McEvoy. Teoría clásica. MicroAnalytix, 2002, p. 205. ISBN 1-930832-02-8. .

[Pontriagin-4] . En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos xⁱ = xⁱ (t) en un grup de Lie complex; Lev Semenovich Pontri͡agin. L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups. 3rd. Gordon and Breach, 1986, p. 429. ISBN 2-88124-133-6. . De manera menys abstracta, un sistema de coordenades en un espai de n dimensions es defineix en termes d'un conjunt base de vectors {e₁, e₂,... e_n}; Edoardo Sernesi. Linear Algebra: A Geometric Approach. CRC Press, 1993, p. 95. ISBN 0-412-40680-2. Com a tal, el sistema de coordenades és una construcció matemàtica, un llenguatge que pot estar relacionat amb el moviment, però que no té una connexió necessària amb el moviment.

[Johansson-5] J X Zheng-Johansson. Unificación de la mecánica clásica, cuántica y relativista y de las cuatro fuerzas. Nova Publishers, 2006, p. 13. ISBN 1-59454-260-0.

[Lyle-6] Jean Salençon. Handbook of Continuum Mechanics: Conceptos generales, termoelasticidad. Springer, 2001, p. 9. ISBN 3-540-41443-6.

[Lakhtakia-7] Patrick Cornille (Akhlesh Lakhtakia, editor). Ensayos sobre los aspectos formales de la teoría electromagnética. World Scientific, 1993, p. 149. ISBN 981-02-0854-5.

[Nerlich-8] Lo que explica el espaciotiempo: Ensayos metafísicos sobre espacio y tiempo. Cambridge University Press, 1994, p. 64. ISBN 0-521-45261-9.

[Norton-9] John D. Norton (1993). La covariància general i els fonaments de la relativitat general: vuit dècades de disputa, Rep. Prog. Phys.', 56', pp. 835-7.

[Wolfson-11] Richard Wolfson. Simply Einstein. W W Norton & Co., 2003, p. 216. ISBN 0-393-05154-4.

[Rizzi-12] Véase Guido Rizzi. Relativity in rotating frames. Springer, 2003, p. 33. ISBN 1-4020-1805-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[a]

[10]

[11]

[6]

[7]

[8]

[9]

Registres d'autoritat	GND (1)
Bases d'informació	GEC (1)