De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
En algebra lineal , la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester . Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.
Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n .
p
(
z
)
=
p
0
+
p
1
z
+
p
2
z
2
+
⋯
+
p
m
z
m
,
q
(
z
)
=
q
0
+
q
1
z
+
q
2
z
2
+
⋯
+
q
n
z
n
.
{\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}
la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada
(
n
+
m
)
×
(
n
+
m
)
{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}
la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:
(
p
m
p
m
−
1
⋯
p
1
p
0
0
⋯
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}
la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta
les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació
la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:
(
q
n
q
n
−
1
⋯
q
1
q
0
0
⋯
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}
les línies següents es formen per permutacions circulars. Així en el cas m =4 i n =3, la matriu obtinguda és
S
p
,
q
=
(
p
4
p
3
p
2
p
1
p
0
0
0
0
p
4
p
3
p
2
p
1
p
0
0
0
0
p
4
p
3
p
2
p
1
p
0
q
3
q
2
q
1
q
0
0
0
0
0
q
3
q
2
q
1
q
0
0
0
0
0
q
3
q
2
q
1
q
0
0
0
0
0
q
3
q
2
q
1
q
0
)
.
{\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}
El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q .
L'equació Bézout d'incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)
x
⋅
p
+
y
⋅
q
=
0
{\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=0}
Es pot reescrure matricialment
S
p
,
q
⋅
(
x
~
y
~
)
=
(
0
0
)
{\displaystyle S_{p,q}\cdot {\begin{pmatrix}{\tilde {x}}\\{\tilde {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}
en la qual
x
~
{\displaystyle {\tilde {x}}}
n
{\displaystyle n}
x i
y
~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
m
{\displaystyle m}
Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de Bézout amb
deg
x
<
deg
q
{\displaystyle \deg x<\deg q}
deg
y
<
deg
p
{\displaystyle \deg y<\deg p}
El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
deg
(
m
c
d
(
p
,
q
)
)
=
m
+
n
−
r
a
n
g
S
p
,
q
{\displaystyle \deg(\mathrm {mcd} (p,q))=m+n-\mathrm {rang} ~S_{p,q}}
