Vés al contingut

Matriu de Sylvester

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En algebra lineal, la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester. Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.

Definició

[modifica]

Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n.

la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada definida així:

  • la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:
  • la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta
  • les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació
  • la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:
  • les línies següents es formen per permutacions circulars.

Així en el cas m=4 i n=3, la matriu obtinguda és

El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q.

Aplicacions

[modifica]

L'equació Bézout d'incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)

Es pot reescrure matricialment

en la qual és el vector de mida dels coeficients del polinomi x i el vector de mida .

Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de Bézout amb i .

El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de i .

.

Vegeu també

[modifica]