En estadística i teoria de la probabilitat, la matriu de covariància és una matriu que conté la covariància entre els elements d'un vector. És la generalització natural a dimensions superiors del concepte de variància d'una variable aleatòria escalar.[1]
Si les entrades del vector-columna
![{\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c59771cb2f786a17f6b8dfb276cfb054f5e3a2)
són variables aleatòries, cadascuna amb variància finita, llavors la matriu de covariància Σ és la matriu l'entrada ( i , j ) és la covariància
![{\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {I} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d35233365caef98158130a26e2e19f26d1067b6)
on
![{\displaystyle \mathrm {M} _{i}=\mathrm {I} (X_{i})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d6687812c0dd7089320b49cd03fd8e79d6c385)
és el valor esperat de l'entrada i -èsima del vector X . En altres paraules, tenim
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4beea93452c5b3887191b930c55a68dcc822dae5)
Com una generalització de la variància[modifica]
L'anterior definició és equivalent a la igualtat matricial
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {I} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {I} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {I} [{\textbf {X}}]\right)^{\top }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f41cc88b17acbd9e948bb1429710a4457423144)
Per tant, s'entén que això generalitza a majors dimensions el concepte de variància d'una variable aleatòria escalar X , definida com
![{\displaystyle \Sigma ^{2}=\mathrm {var} (X)=\mathrm {I} [(X-\mu )^{2}],\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bfebf3c3a54ecc36241de44de62accc92daca30)
on
![{\displaystyle \mathrm {M} =\mathrm {I} (X).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3760665d5d6d27c076723e0a7832f8965dfafcad)
Per
i
, les següents propietats fonamentals es demostren correctes:
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {I} (\mathbf {XX^{\top }} )-\mathbf {\mu } \mathbf {\mu ^{\top }} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6842df66d1f2d4bffe7e4487ba51dffb708d97)
és semidefinida positiva
![{\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {AX} +\mathbf {a} )=\mathbf {A} \,\operatorname {var} (\mathbf {X} )\,\mathbf {A^{\top }} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49073ceec1dddbbb2fa02478c1eb7da28641d2b4)
![{\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {I} )=\operatorname {cov} (\mathbf {I} ,\mathbf {X} )^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac415f1dc7185c45205dced156cd51090129e73)
![{\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} +\mathbf {x_{2}} ,\mathbf {I} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} ,\mathbf {I} )+\operatorname {cov} (\mathbf {x_{2}} ,\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14091378cd9badaa04971e59b676ffcc363e5c7b)
- Si els vectors
i
són d'igual dimensió, llavors ![{\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {X} +\mathbf {I} )=\operatorname {var} (\mathbf {X} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {I} )+\operatorname {cov} (\mathbf {I} ,\mathbf {X} )+\operatorname {var} (\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0880aa936e0598218e384a0de97ae027997fa6)
![{\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {BY} )=\mathbf {A} \,\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {I} )\,\mathbf {B} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f636e4c6ddaa657510e4b7e633c069f487904635)
- Si
i
són independents, llavors ![{\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {I} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987bd34393808cf030047b6ca85d76a3ed977a3c)
on
i
són vectors aleatoris de dimensió
,
és un vector aleatori
,
és
,
i
són matrius de
.
La matriu de covariància (encara que molt simple) és una eina molt útil en diversos camps. A partir d'ella es pot derivar una transformació lineal que pot de-correlacionar les dades o, des d'un altre punt de vista, trobar una base òptima per representar les dades de forma òptima (vegeu quocient de Rayleigh per la prova formal i altres propietats de les matrius de covariància).
Això es diu anàlisi del component principal (PCA per les seves sigles en anglès) en estadística, i transformada de Karhunen-Loev a processament de la imatge.
Bibliografia addicional[modifica]