De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una matriu simètrica és una matriu quadrada
A
=
(
a
i
,
j
)
∈
M
n
×
n
{\displaystyle A=(a_{i,j})\in {\mathcal {M}}_{n\times n}}
a
i
,
j
=
a
j
,
i
{\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}
i
,
j
∈
{
1
,
2
,
3
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,j\in \{1,2,3,\dots ,n\}}
Això és, que té la forma següent:
A
=
(
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
⋯
a
1
,
n
a
1
,
2
a
2
,
2
a
2
,
3
⋯
a
2
,
n
a
1
,
3
a
2
,
3
a
3
,
3
⋯
a
3
,
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
1
,
n
a
2
,
n
a
3
,
n
⋯
a
n
,
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{1,2}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\a_{1,3}&a_{2,3}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&a_{2,n}&a_{3,n}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}}
Notem que la simetria és respecte a la diagonal principal i que si
A
{\displaystyle A}
matriu transposada
A
T
{\displaystyle A^{T}}
A
=
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
Per exemple, una matriu simètrica A quan n =3 pot ser:
A
=
(
1
2
3
2
0
5
3
5
6
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&5\\3&5&6\\\end{pmatrix}}}
Un dels teoremes bàsics sobre aquest tipus de matrius és el teorema espectral de dimensió finita, que diu que tota matriu simètrica tals que les seves entrades siguin reals pot ser diagonalitzada per una matriu ortogonal . En altres paraules, si
A
{\displaystyle A}
O
{\displaystyle O}
O
T
O
=
I
d
{\displaystyle O^{T}O=Id}
O
T
A
O
=
D
{\displaystyle O^{T}AO=D}
matriu hermítica .
