Formulació lagrangiana

La formulació lagrangiana o mecànica lagrangiana és una reformulació de la mecànica clàssica newtoniana introduïda per Joseph Louis Lagrange el 1788. En la formulació lagrangiana, la trajectòria d'un objecte es troba cercant la trajectòria tal que l'acció, S, té un valor estacionari ($\delta S=0$). L'acció és la suma (la integral, de fet) en el temps d'una funció anomenada lagrangià, definida com l'energia cinètica menys l'energia potencial. Cal remarcar que no es tracta de cap teoria nova, és simplement la mecànica newtoniana amb eines matemàtiques més sofisticades. L'avantatge és que en aquest cas, el plantejament i les equacions resultants que cal resoldre són molt més simples.

En la pràctica, resoldre un problema amb el formulisme de Lagrange es redueix, en primer lloc, a trobar un bon sistema de coordenades (per «bon sistema» entenem un que simplifiqui al màxim el plantejament del problema) i a continuació calcular l'energia cinètica i potencial del sistema; una vegada trobades només cal resoldre les equacions de Lagrange per a cada coordenada, que són equacions diferencials i que explicarem a continuació.

Les equacions de Lagrange

Les equacions de moviment d'un cos en la formulació lagrangiana són les anomenades equacions de Lagrange, també conegudes com a equacions d'Euler-Lagrange. Si considerem una partícula de massa m, amb velocitat v i posició r i sotmesa a una força F, la segona llei de Newton es pot escriure, recordant que la quantitat de moviment p és m·v, com

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {v}}{\frac {dm}{dt}}+m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

que és un conjunt de 3 equacions diferencials de segon ordre (una per a cada component de r: x, y i z). Per tant, el moviment de la partícula es pot descriure amb 6 variables independents, o graus de llibertat. Un conjunt evident de variables és les tres components de r i les tres components de la velocitat (dr/dt) en un moment donat. Però aquesta tria no és l'única; es pot treballar amb qualsevol conjunt independent de coordenades i derivades de coordenades que anomenarem coordenades generalitzades q_j i velocitats generalitzades q'_j. La relació entre les coordenades generalitzades i les cartesianes r_i es podrà expressar amb una equació de transformació

${\vec {r}}={\vec {r}}(q_{i},q_{j},q_{k},t)$

Coordenades generalitzades: exemple d'un pèndol simple

En un pèndol simple de longitud l i massa m sembla més senzill escollir com a coordenades l'angle θ respecte a la vertical i la velocitat angular que no les coordenades cartesianes. Fixem-nos que n'hi ha prou amb aquestes dues variables per definir el moviment del pèndol, però considerant les coordenades cartesianes x i y i les velocitats respectives podria semblar que en necessitem quatre; en realitat, però, com el pèndol és lligat per la corda, és obligat a desplaçar-se per una circumferència de radi l, de manera que x i y no són realment independents, hi ha un lligam entre elles: x² + y² = l². En definitiva doncs, voldrem utilitzar θ i dθ/dt en lloc de x i dx/dt; en aquest cas tenim una equació de transformació que ens permetrà passar de les coordenades x i y a la coordenada θ:

${\vec {r}}(\theta ,\theta ',t)=(l\sin \theta ,l\cos \theta )$

és a dir que x = l·sinθ i y = l·cosθ. El terme «coordenades generalitzades» és realment una relíquia de l'època en què les coordenades cartesianes eren considerades les més «normals».

Ara considerem un desplaçament arbitrari de la partícula, δ. El treball fet per la força F sobre la partícula serà δW = F · δr. Amb la segona llei de Newton podem escriure:

${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}\cdot \delta {\vec {r}}$

Com el treball és una quantitat escalar, podrem escriure aquesta equació en termes de les coordenades i velocitats generalitzades. A la banda esquerra tenim:

${\begin{matrix}{\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}&=&-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial {\vec {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}$

La banda dreta és una mica més difícil, però es pot arribar a:

$m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}\cdot \delta {\vec {r}}=\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}$

on

$T={\frac {1}{2}}m({\frac {d{\vec {r}}}{dt}})^{2}$

és l'energia cinètica de la partícula. Ara podem ajuntar els dos termes i obtenim

$\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.$

Però això ha de ser cert per a qualsevol conjunt de desplaçaments generalitzats δq_i, de manera que el que ha d'anul·lar-se és la part de dins del parèntesi i hem de tenir, que

$\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0$

per a cada coordenada generalitzada δq_i. Com V només és funció de r i de t, i r és funció de les coordenades generalitzades i de t, V és independent de les velocitats generalitzades:

${d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}=0.$

i per tant, podem afegir V al primer terme de la resta anterior sense cap problema (sempre donarà 0). Si ho fem i definim la quantitat anomenada lagrangià, que és simplement la resta de l'energia cinètica i la potencial, L = T - V, obtenim les equacions de Lagrange:

${\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}$

Hi ha una equació de Lagrange per a cada coordenada generalitzada. Per a resoldre un problema concret només cal determinar un bon conjunt de coordenades generalitzades, determinar T i V i resoldre les equacions de Lagrange per a cada coordenada generalitzada.

Exemple: el pèndol simple utilitzant les equacions de Lagrange

Com a exemple d'aplicació de la formulació de Lagrange resoldrem el senzill problema del moviment d'un pèndol simple, sotmès a la força de gravetat. Com ja hem vist abans, el pèndol té un sol grau de llibertat (la seva posició queda unívocament determinada amb una sola coordenada, sigui x o θ. Per a la descripció del moviment del pèndol és molt més simple utilitzar θ i és aquesta, doncs, la coordenada generalitzada que utilitzarem. Ara cal determinar l'energia cinètica i la potencial. Per a això recordem que la velocitat lineal de la partícula v és igual a l·ω, on ω és la velocitat angular que, òbviament és igual a dθ/dt; llavors,

$T={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}$

$V=mgl(1-\cos \theta )\,$

Ara el lagrangià L és simplement T - V, i com només tenim tenim una coordenada generalitzada només haurem de resoldre una equació de Lagrange:

${\partial {L} \over \partial \theta }={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {\theta '}}$

I si hi introduïm L i reordenem els termes obtenim, sempre tenint en compte que les derivades són parcials,

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

que és l'equació habitual del pèndol simple, igual que podem obtenir aplicant directament la 2a llei de Newton.