Vés al contingut

Nombre de Woodall

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En teoria de nombres, un nombre de Woodall és qualsevol nombre natural de la forma on n és un nombre natural.

Es poden consultar els primers nombres de Woodall a la seqüència OEIS A003261

Van ser descrits per Allan J. C. Cunningham i H. J. Woodall l'any 1971,[1] inspirats en uns estudis de James Cullen sobre uns nombres definits de manera similar anomenats nombres de Cullen.

Primers de Woodall

[modifica]

Els nombres de Woodall que són nombres primers s'anomenen primers de Woodall. Es creu que n'hi ha infinits, però encara no ha estat demostrat.

Els nombres n als quals Wn és primer són a l'OEIS A002234 i els nombres primers corresponents a A050918

L'any 1976 Christopher Hooley va demostrar que gairebé tots els primers de Cullen són nombres compostos.[2] Al 1995, Wilfred Keller va publicar un article sobre nous primers de Cullen i la factorització d'altres primers de Cullen i primers de Woodall.[3] L'article incoïa una comunicació personal a Keller de Hiromi Suyama que afirmava que el mètode de Hooley es pot reformular per mostrar que funciona per a qualsevol seqüència de nombres n · 2n + a + b, on a i b són enters, i en particular, que els nombres de Woodall són gairebé tots compostos.[4]

Propietats

[modifica]
  • Començant per W₄ = 63 i W₅ = 159, cada sis n el nombre és divisible per 3; per tant, per tal que Wn sigui primer l'índex n no pot ser congruent a 4 o 5 en mòdul 6.
  • Si es defineix un enter m, el nombre de Woodall W2m només pot ser primer si 2m + m és primer.
  • Els únics nombres primers que es coneixen que són a la vegada primers de Marsenne i de Woodall són [W₂, M₃] i [W512, M521].

Generalització

[modifica]

Es pot definir un nombre de Woodall generalitzat en base b com a nombre en la forma n × bn − 1, on n + 2 > b. Si un nombre primer es pot escriure en aquesta forma, s'anomena un primer de Woodall generalitzat.

La seqüència amb el nombre mínim n al qual n × bn − 1 és primer correspon a l'OEIS A240235

Vegeu també

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. Cunningham, A.J.C.; Woodall, H.J. «Factorization of and ». Messenger of Mathematics, 47, 1917, pàg. 1-38.
  2. Everest, Graham; Van der Poorten, Alfred; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas. Recurrence sequences. 104. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, 2003, p. 94. ISBN 0-8218-3387-1. 
  3. Keller, Wilfrid «New Cullen primes». Mathematics of Computation, 64, 212, 1995, pàg. 1739. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3. ISSN: 0025-5718.
  4. Keller, Wilfrid. «Wilfrid Keller». Arxivat de l'original el 2020-02-28. [Consulta: 15 octubre 2020].