Nombre primer equilibrat

En teoria de nombres, un nombre primer equilibrat és un nombre primer tal que la seva distància al següent nombre primer és igual a la distància a l'anterior nombre primer. Això equival a dir que un nombre primer equilibrat és aquell que correspon a la mitjana del següent i l'anterior primers. Expressat algebraicament, un nombre primer $p_{n}$ és equilibrat si

$p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.$

Per exemple, 53 és el setzè nombre primer, i els quinzè i dissetè nombres primers, 47 i 59, sumen 106, la meitat del qual és 53. Per tant, 53 és un nombre primer equilibrat.

Exemples

Els primers nombres primers equilibrats són

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 (successió A006562 a l'OEIS).

Infinitat

Està conjecturat que existeixen infinits nombres primers equilibrats.

Tres nombres primers consecutius en una progressió aritmètica també s'anomenen un CPAP-3 (per les inicials en anglès). Un nombre primer equilibrat és per definició el segon primer en un CPAP-3. A 2014, el CPAP-3 més gran que es coneix té 10546 dígits, va ser trobat per David Broadhurst, i és:

$p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430.$

El valor de n (la seva posició en la seqüència de nombres primers) encara no es coneix.

Generalització

El concepte de nombres primers equilibrats es pot generalitzar als nombres primers equilibrats d'ordre n. Un nombre primer equilibrat d'ordre n és un nombre primer que és igual a la mitjana aritmètica dels n primers més propers, tant superiors com inferiors. Algebraicament, donat un nombre primer $p_{k}$, on k és el seu índex en el conjunt de nombres primers,

$p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.$

Així doncs, un primer equilibrat ordinari és un primer equilibrat d'ordre 1. Les seqüències de nombres primers equilibrats d'ordres 2, 3, i 4 venen donats per (successió A082077 a l'OEIS), (successió A082078 a l'OEIS), i (successió A082079 a l'OEIS) respectivament.

Vegeu també

• Nombre primer fort, un nombre primer que és més gran que la mitjana aritmètica dels seus dos veïns primers.