Nombres idonis d'Euler

En teoria de nombres, un nombre idoni d'Euler (també anomenat nombre adequat o nombre convenient) és aquell nombre natural n tal que qualsevol enter expresable com x² ± ny² (on x² és coprimer de ny²) és un nombre primer, potència de primer o una combinació d'ambdós.

Definició

Un nombre positiu n és idoni si i només si no pot ser escrit com ab + bc + ac per valors enters positius diferents de a, b i c.

N'hi ha prou considerant el conjunt { n + k² | k² ≤ 3 · n ∧ gcd (n, k) = 1 }; si tots aquests nombres són de la forma p, p², 2 · p o 2^s per un enter s, on p és un nombre primer, llavors n és idoni.

Llista conjecturalment completa

El matemàtic suís Leonhard Euler, de qui reben el nom, va trobar 65 nombres idonis que va agrupar en una llista, i Carl Friedrich Gauss els va classificar, conjecturant que únicament existien els nombres d'aquella llista, que és la següent:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, i 1848. (successió A000926 a l'OEIS)

Weinberger va demostrar l'any 1973 que, com a màxim, existeix tan sols un altre nombre idoni a part dels mencionats anteriorment, i que, si la hipòtesi generalitzada de Riemann es compleix, llavors la llista està completa.

Bibliografia

• Z. I. Borevich i I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, pàgines 425–430.
• D. Cox, "Primes of Form x² + n y²", Wiley, 1989, pàgina 61.
• L. Euler, "An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers", 1806
• G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
• O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
• G. B. Mathews, Theory of Numbers, Chelsea, sense data, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA o, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil, Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre, Birkhaeuser, Boston, 1984; see p. 188.

Vegeu també

• Llista de temes anomenats en honor de Leonhard Euler

Enllaços externs

• K. S. Brown, Mathpages, Numeri Idonei
• M. Waldschmidt, Open Diophantine problems
• Ernst Kani, Idoneal Numbers and some Generalizations [1]
• Weisstein, Eric W., «Idoneal Number» a MathWorld (en anglès).