Operador rotacional quàntic

Operador de rotació que actua sobre una funció d'ona.

Els operadors rotacionals, les seves representacions matricials i el seu efecte sobre els estats quàntics són una part essencial de la mecànica quàntica dels sistemes microscòpics. Tractaments a nivell de grau d'aquest tema (cf. Gottfried 1966; Shankar 1980; Messiah 1966; Schiff 1968; Merzbacher 1970; Sakurai 1985; Bohm 1979; Cohen-Tannoudji et al. 1977) l'operador de rotació d'Hilbert i la introducció de l'espai La parametrització de l'angle d'Euler de les rotacions condueix a curt termini a les matrius de rotació de Wigner. Aquestes matrius, al seu torn, s'utilitzen àmpliament en una varietat d'aplicacions.

Rotacions mecàniques quàntiques

Amb cada rotació física $R$, postulem un operador de rotació mecànica quàntica $D(R)$ que fa girar els estats mecànics quàntics.

$$|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$$Pel que fa als generadors de rotació,

$$D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),$$ on $\mathbf {\hat {n}}$ és l'eix de rotació, $\mathbf {J}$ és el moment angular, i $\hbar$ és la constant de Planck reduïda.

L'operador de translació

L'operador de rotació $\operatorname {R} (z,\theta )$, amb el primer argument $z$ indicant l'eix de rotació i el segon $\theta$ l'angle de rotació, pot funcionar mitjançant l'operador de translació $\operatorname {T} (a)$ per a rotacions infinitesimals com s'explica a continuació. Per això, primer es mostra com l'operador de translació està actuant sobre una partícula a la posició x (la partícula es troba llavors en l'estat $|x\rangle$ segons la mecànica quàntica).

Translació de la partícula en posició $x$ a posicionar $x+a$: $\operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle$

Com que una translació de 0 no canvia la posició de la partícula, tenim (amb 1 significa l'operador d'identitat, que no fa res):

$$\operatorname {T} (0)=1$$$$\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)$$El desenvolupament de Taylor dóna:

$$\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da$$ amb

$$p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}$$D'això segueix:

$$\operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)$$Aquesta és una equació diferencial amb la solució

$$\operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).$$A més, suposem un hamiltonià $H$ és independent de la $x$ posició. Perquè l'operador de traducció es pot escriure en termes de $p_{x}$, i $[p_{x},H]=0$, ho sabem $[H,\operatorname {T} (a)]=0.$ Aquest resultat significa que es conserva el moment lineal del sistema.