Oscil·lació amortida
Una oscil·lació amortida, o esmorteïda, és un tipus d'oscil·lació, no aïllada, en què l'amplitud de l'oscil·lació decreix exponencialment amb el temps. A diferència de l'harmònica, que oscil·laria de forma indefinida, acaba aturant-se a causa de l'amortiment. És un fenomen comú que es pot observar a moltes situacions del món real, pèndols, molles… Aquest descens de l'amplitud i l'energia de l'oscil·lació, que es converteix en energia tèrmica, sol ser causada pel fregament del cos oscil·lant amb el medi d'oscil·lació o per les mateixes característiques de la força impulsora.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/HarmOsc4.png/300px-HarmOsc4.png)
La forma més simple d'expressar aquests factors que fan disminuir l'energia mecànica del cos és mitjançant la introducció d'una força de fregament proporcional a la velocitat de desplaçament, , que a nivell teòric representa totes les forces que fan aturar el cos. Aquesta força, com es pot comprovar, s'oposa al moviment, és negativa, i depèn de b, una constant positiva anomenada constant de proporcionalitat o coeficient de fricció.
Equació de moviment
[modifica]Per deduir l'equació del moviment, en cas que la partícula oscil·li diverses vegades, es parteix de la segona llei de Newton, la llei fonamental de la dinàmica:
Aleshores, si ens imaginem una molla simple lligada a una massa que oscil·la horitzontalment podem imaginar-nos que les forces que actuen sobre el cos són la força recuperadora (que sempre és negativa) i la força d'amortiment (originada pel contacte amb el terra i l'aire, i que s'oposa al moviment, sent també negativa). I, substituint per les variables, ens queda:
D'on, passant les forces a l'altra banda de l'equació i dividint-la tota per m, es pot extreure que l'equació del moviment és:
Que també es pot escriure amb els següents termes:
on és la freqüència natural d'oscil·lació (la freqüència amb la qual oscil·laria el sistema si fos una oscil·lació harmònica aïllada sense fregament) i la beta és la constant d'amortiment.
I si se n'extreu la solució queda l'expressió simple que quantifica l'amplitud següent:
On és la freqüència real d'oscil·lació, que es pot quantificar amb la fórmula: .
Els elements cosinus de l'equació es poden simplificar a 1 en segons quins exercicis, com els de pèrdua d'energia o amplitud, ja que així només es considera el punt de màxima amplitud. I si ens fixem en aquesta equació simplificada veiem clarament que l'amplitud decreix exponencialment a mesura que passa el temps.
Aquesta equació és vàlida pel tipus d'oscil·lació anomenada subamortida, que s'explica a continuació.
Tipus d'oscil·lació amortida
[modifica]Hi ha tres tipus d'oscil·lació amortida segons la seva evolució temporal:
- Sobreamortida, en aquest cas el sistema no pot oscil·lar i retorna lentament al punt d'equilibri.
- Amortida críticament, la freqüència d'oscil·lació és zero i torna gradualment a la posició d'equilibri. Aquest tipus d'esmorteïment és especialment útil per a sistemes on es volen reduir les oscil·lacions perquè retorna
- Subamortida, l'amplitud de les oscil·lacions va disminuint de mica en mica.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/HarmOsc3.png)
Corba blava: amortiment crític. |
Corba vermella: moviment sobreamortit, el doble del crític. |
Corba verda: moviment subamortit, d'amortiment igual a 90% de l'amortiment crític. |
Oscil·lació sobreamortida
[modifica]És el fenomen que s'esdevé quan l'amortiment és molt alt (per exemple, un pèndol que oscil·la en melassa). En aquest cas, l'oscil·lador no pot completar ni una sola oscil·lació i es mou cap a la posició d'equilibri amb una velocitat baixa, respecte als altres tipus, que tendeix a zero quan s'acosta al punt d'equilibri.
Oscil·lació amortida críticament
[modifica]En aquest cas el sistema retorna a la seva posició d'equilibri el màxim de ràpid possible. En aquesta situació l'amortiment és el mínim necessari per evitar que es creï el moviment oscil·latori.
Oscil·lació subamortida
[modifica]També anomenada oscil·lació amortida simplement, és el moviment que s'esdevé quan l'amortiment que s'aplica al cos és feble i l'amplitud i l'energia decreixen lentament en el temps. Aquest tipus de moviment, a diferència dels anteriors, sí que realitza més d'una oscil·lació completa.
Pot arribar a ser molt i molt semblant a un moviment harmònic simple, si el seu amortiment és feble. Aquest cas es coneix com a les oscil·lacions poc amortides on .
On:
- és la massa de l'oscil·lador.
- és la freqüència angular real.
- és la freqüència angular que tindria si fos un MHS.
Energia de l'oscil·lació poc amortida
[modifica]L'energia mecànica total a un moviment oscil·latori esmorteït no es manté constant. En els casos sobreamortit i amortit críticament l'energia del moviment es dissipa ràpidament perquè no hi ha oscil·lació, en canvi en el cas de l'oscil·lació subamortida oscil·la i va perdent aquesta energia de mica en mica a cada cicle. L'energia mecànica total serà igual a la potència consumida per la força de fricció, matemàticament:
Aquesta potència és negativa perquè perd l'energia en forma de calor. Considerant que la pèrdua d'energia a cada cicle és petita es pot substituir pel seu valor mitjà:
Que indica un decreixement exponencial, com en el cas de l'amplitud, de l'energia del sistema. Així:
on C és una constant d'integració. Aleshores, aplicant l'exponencial a les dues bandes de l'equació obtenim:
On és la constant d'energia a l'instant inicial. D'aquesta equació en podem concloure que l'energia d'un moviment oscil·latori amortit disminueix el doble de ràpid que l'amplitud en aquest mateix moviment.
El temps de relaxació
[modifica]De vegades per determinar les pèrdues d'energia es fa servir un concepte anomenat temps de relaxació simbolitzat amb el caràcter grec (). Aquest terme quantifica el temps que tarda l'amplitud o l'energia a reduir-se a un 37% de la inicial. Així doncs, matemàticament es pot expressar l'energia també en funció d'aquest terme:
I en el cas de l'energia, com que disminueix el doble de ràpid que l'amplitud és:
On és el temps de relaxació de l'amplitud, és el temps de relaxació de l'energia i l'última fórmula és l'energia expressada amb el temps de relaxació.
El factor de qualitat
[modifica]Normalment per determinar la pèrdua d'energia d'un oscil·lador s'usa el factor de qualitat Q, definit per:
On és l'energia perduda en un cicle.
Finalment, amb el factor de qualitat es pot relacionar la freqüència natural amb la real mitjançant la fórmula:
Aplicacions
[modifica]El coneixement de les oscil·lacions amortides és important per al disseny i construcció de molts components de l'enginyeria moderna. Per exemple els amortidors dels cotxes, el tren d'aterratge dels avions, suports per a màquines a la indústria... També serveix a enginyeria estructural per a millorar les estructures contra perills com terratrèmols o altres moviments que poden patir les estructures.
Suspensió de vehicles
[modifica]A un vehicle serveix per calcular com han de ser els amortidors. Un amortidor òptim per a un vehicle és el que segueix la corba d'amortiment crítica, perquè retorna a l'estabilitat al més ràpidament possible fent així que el vehicle s'estabilitzi ràpidament. Això millora la comoditat i la seguretat al conduir gràcies a la reducció de les pertorbacions. Sense amortidors el vehicle trontollaria a cada desnivell.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/JREast-E259-Damper.jpg/300px-JREast-E259-Damper.jpg)
Ferrocarrils
[modifica]Els trens incorporen un amortidor transversal, anomenat amortidor de guinyada, que ajuda a evitar que els vagons es belluguin de banda a banda. Són presents a la majoria de trens, ja siguin de mercaderies o de passatgers, i també són útils perquè són un element que ajuda a evitar descarrilaments.
Referències
[modifica]- Tipler, Paul A. Física per a la ciència i la tecnologia. Vol.1. Editorial Reverté, 2011. ISBN 9788429144321.
- «Teoria d'Oscil·lacions». Universitat Pompeu Fabra. Arxivat de l'original el 2016-03-03. [Consulta: 19 gener 2013].
- Serway, R.A.. Física, Volúmenes 1 y 2, 3ª edición. Editorial Thomson Paranimfo, 2003.