Vés al contingut

Partícula en un potencial central

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial de cada partícula depèn només de la distància entre la partícula i el centre del potencial.

Cas general

[modifica]

Considerem una partícula de massa en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:

Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,s'obté, substituint i multiplicant per :

El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de i el membre de la dreta (part angular) depèn només de i . Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui . D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

  • Equació radial:
  • Equació angular:

Separació de l'equació angular

[modifica]

L'equació angular es pot multiplicar per :

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,s'obté, substituint i dividint per :

El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de . Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui . D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

  • Equació polar:
  • Equació azimutal:

Equació azimutal

[modifica]

La solució general de l'equació azimutal és:on i són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en , la funció també ha de ser univaluada i periòdica en , és a dir, . En aquest cas, el nombre , que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:

Les solucions independents coincideixen amb les solucions independents per a negatius. Per tant, podem prendre sense pèrdua de generalitat:

Normalitzant , s'obté:

Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:

Equació polar

[modifica]

L'equació polar es pot multiplicar per :

Fent el canvi de variables :

Fent la substitució :

Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:que és una equació associada de Legendre.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre , que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan , és a dir, quan

La solució general de l'equació associada de Legendre per a és:on i són constants arbitràries, i i són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.

Bibliografia

[modifica]
  • L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965.
  • E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998.
  • L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968.
  • L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.