La pinta de Dirac és una sèrie infinita de deltes de Dirac separades per un interval T . En matemàtiques , la pinta de Dirac (també anomenada tren d'impulsos o funció de mostratge en electrotècnia ) és una distribució temperada periòdica [ 1] deltes de Dirac [ 2]
III
T
(
t
)
=
d
e
f
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
=
1
T
III
(
t
T
)
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)={\frac {1}{T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{T}}\right)}
per un període donat T . El símbol
III
(
t
)
{\textstyle \operatorname {III} (t)}
[ 1] teoria de circuits també s'hi refereixen com a funció Shah [ 2] ciríl·lica xa majúscula Ш). Pel fet de ser periòdica es pot expressar com a sèrie de Fourier :
III
T
(
t
)
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
e
i
2
π
k
t
T
.
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}}.}
La propietat del canvi d'escala s'obté directament de les propietats de la delta de Dirac .[ 3]
δ
(
t
)
=
1
|
a
|
δ
(
t
a
)
{\textstyle \delta (t)={\frac {1}{|a|}}\delta \left({\frac {t}{a}}\right)}
a
{\textstyle a}
III
T
(
t
)
=
1
T
III
(
t
T
)
,
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{T}}\right),}
III
a
T
(
t
)
=
1
|
a
|
T
III
(
t
a
T
)
=
1
|
a
|
III
T
(
t
a
)
.
{\displaystyle \operatorname {III} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{|a|T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {III} _{T}\left({\frac {t}{a}}\right).}
Cal notar que el signe de
a
{\displaystyle a}
És evident que
III
T
(
t
)
{\displaystyle \ \operatorname {III} _{T}(t)}
T
{\displaystyle T}
III
T
(
t
+
T
)
=
III
T
(
t
)
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t+T)=\operatorname {III} _{T}(t)}
per a tot t .
La seva sèrie de Fourier complexa és
III
T
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
c
k
e
i
2
π
k
t
T
,
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}},}
on els coeficients de Fourier
c
k
{\displaystyle c_{k}}
c
k
=
1
T
∫
t
0
t
0
+
T
III
T
(
t
)
e
−
i
2
π
k
t
T
d
t
(
−
∞
<
t
0
<
+
∞
)
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
III
T
(
t
)
e
−
i
2
π
k
t
T
d
t
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
δ
(
t
)
e
−
i
2
π
k
t
T
d
t
=
1
T
e
−
i
2
π
k
0
T
=
1
T
.
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {III} _{T}(t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {III} _{T}(t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi k{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}
Tot els coeficients de Fourier són 1/T , per tant la sèrie de Fourier resultant és
III
T
(
t
)
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
e
i
2
π
k
t
T
.
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}}.}
Quan el període és unitari se simplifica de la forma
III
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
e
i
2
π
k
t
.
{\displaystyle \operatorname {III} (t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi kt}.}
[ modifica ] La seva sèrie de Fourier trigonomètrica és
III
T
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
k
≥
1
a
k
c
o
s
(
2
π
k
T
t
)
+
b
k
s
i
n
(
2
π
k
T
t
)
,
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geq 1}a_{k}cos({\frac {2\pi k}{T}}t)+b_{k}sin({\frac {2\pi k}{T}}t),}
on els coeficients de Fourier
a
k
{\displaystyle a_{k}}
b
k
{\displaystyle b_{k}}
c
k
{\displaystyle c_{k}}
a
k
=
2
T
b
k
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {2}{T}}\\b_{k}&=0.\end{aligned}}}
Per tant la sèrie de Fourier resultant és
III
T
(
t
)
=
1
T
+
2
T
∑
k
≥
1
c
o
s
(
2
π
k
T
t
)
.
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}+{\frac {2}{T}}\sum _{k\geq 1}cos({\frac {2\pi k}{T}}t).}
Quan el període és unitari se simplifica de la forma
III
(
t
)
=
1
+
2
∑
k
≥
1
c
o
s
(
2
π
k
t
)
.
{\displaystyle \operatorname {III} (t)=1+2\sum _{k\geq 1}cos(2\pi kt).}
La transformada de Fourier d'una pinta de Dirac és una pinta de Dirac[ 2] funció gaussiana de variància 1). Així doncs, la pinta de Dirac expressada en el domini freqüencial es pot escriure com:
III
T
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
⟷
F
1
T
III
1
T
(
f
)
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
e
i
2
π
f
k
T
.
{\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\operatorname {III} _{1 \over T}\left(f\right)={1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi fkT}.}
A més, quan el període és unitari la transformada de Fourier de la pinta de Dirac és directament ella mateixa
III
(
t
)
⟷
F
III
(
f
)
.
{\displaystyle \operatorname {III} (t)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {III} \left(f\right).}
↑ 1,0 1,1 Xavier Gràcia Matemàtiques de la Telecomunicació. Definicions i resultats . ↑ 2,0 2,1 2,2 R.J. Beerends; H.G. ter Morsche; J.C. van den Berg; E.M. van de Vrie. Fourier and Laplace transforms . Cambridge University Press , 2003. ISBN 978-0-521-53441-3 ↑ Nicholas Wheeler Simplified production of Dirac delta functions identities .
