Vés al contingut

Polifloc

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Un polifloc, també anomenat n-floc, és una estructura fractal construïda a partir d'un polítop de n costats. Aquest polítop és reemplaçat per un floc de polítops més petits, generalment col·locats a cadascun dels vèrtexs i al centre. En repetir aquest procediment recursivament s'obté el polifloc.

A la variant sense el polítop central sovint se l'anomena polígon (o n-gon) de Sierpinski.[1]

Poliflocs de dues dimensions

[modifica]

La varietat més comuna de polifloc és bidimensional (pel que fa a la seva dimensió topològica) i està formada per polígons. El seu perímetre correspon a la corba de Koch de diferents tipus - depenent del polígon - i hi ha infinites corbes de Koch al seu interior.

La fórmula del factor escala r d'un n-floc és, en radians:[2]

En general, la dimensió de Hausdorff és on m és el nombre de polígons en cada floc individual, i r és el factor escala.

Trifloc

[modifica]

El trifloc més conegut és el triangle de Sierpinski, format a partir de 3 triangles i un factor escalar de 2.

Tetrafloc

[modifica]

En aplicar un factor escalar de 3 a un quadrat, s'obtenen 9 quadrats. Es poden obtenir diverses fractals segons quins d'aquests 9 quadrats s'eliminen a cada iteració, per exemple la catifa de Sierpinski, la corba quadrada de Sierpinski (versió plena), la pols de Cantor o la fractal de Vicsek. Seguin la norma general, la seva dimensió de Hausdorff és on q és el nombre de quadrats que no són eliminats.

Pentafloc

[modifica]

Un pentafloc es forma a partir de 6 pentàgons regulars.[3] La seva dimensió de Hausdorff és on és la raó àuria. En el cas de la variant sense el pentàgon central, el pentàgon de Sierpinski, la dimensió de Hausdorff és .

Hexafloc

[modifica]
Projecció ortogonal d'un cub de Cantor mostrant un hexafloc.

Un hexafloc, també anomenat floc de neu de Lindstrøm, es forma a partir de 7 hexàgons regulars i un factor escalar de 3.[4] La projecció d'un cub de Cantor a un pla ortogonal en la seva diagonal principal és un hexafloc. Com en el cas del pentafoc, també existeix una versió sense l'hexàgon central, anomenada hexàgon de Sierpinski.[5]

Altres poliflocs bidimensionals

[modifica]

Es poden generar de forma similar poliflocs amb polígons de més costats, però el seu factor escalar, i per tant la seva dimensió de Hausdorff, són més difícils de calcular. A mesura que n tendeix a infinit, la dimensió de Hausdorff tendeix a 1.[1]

Poliflocs de tres dimensions

[modifica]

Els poliflocs es poden generalitzar per més dimensions, en particular a una dimensió topològica de tres.[6] El mecanisme d'obtenció és el mateix però utilitzant políedres en lloc de polígons. Tot i això, com que hi ha un nombre infinit de políedres regulars però només hi ha cinc políedres regulars platònics, als poliflocs tridimensionals també se'ls anomena sòlids platònics fractals.[7] Quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit, el seu volum tendeix a 0.

Polifloc tetraèdric

[modifica]

El tetràedre de Sierpinski està format de 4 tetràedres regulars. Cada floc es forma col·locant un tetràedre escalat a cada cantonada, amb un factor escalar de 2. La seva dimensió de Hausdorff és que és exactament 2. A més, cadascuna de les seves cares correspon a un triangle de Sierpinski.

Polifloc hexaèdric

[modifica]

Un polifloc hexaèdric està format d'hexàedres regulars, és a dir, de cubs. Tal com passa amb la versió bidimensional, si s'aplica el mateix procediment que en el cas del tetraedre, s'obté un cub pla, el qual no té interès com a fractal.[6] En canvi, si es divideix cada cub amb un factor escalar de 3 i a cada iteració s'eliminen alguns dels 27 cubs resultants, s'obtenen figures fractals tal com passava en la versió bidimensional.

Polifloc octaèdric

[modifica]

Un polifloc octaèdric està format de 6 octàedres regulars, amb un factor escalar de 2. Com en el cas del polifloc tetraèdric, cadascuna de les cares correspon a un triangle de Sierpinski.

Polifloc dodecaèdric

[modifica]

Un polifloc dodecaèdric està format de 20 dodecàedres regulars, amb un factor escalar de . Per tant, la seva dimensió de Hausdorff és .

Polifloc icosaèdric

[modifica]

Un polifloc icosaèdric està format de 12 icosàedres regulars, amb un factor escalar de . Per tant, la seva dimensió de Hausdorff és .

Vegeu també

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. 1,0 1,1 Dennis, Kevin; Schlicker, Steven. «Sierpinski n-Gons» (PDF).
  2. Riddle, Larry. «Sierpinski n-gons».
  3. Weisstein, Eric W. "Pentaflake." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  4. Choudhury, S.M.; Matin, M.A. «Effect of FSS ground plane on second iteration of hexaflake fractal patch antenna». 7th International Conference onElectrical Computer Engineering (ICECE), 2012, pàg. 694–697. DOI: 10.1109/ICECE.2012.6471645.
  5. Devaney, Robert L. (2004), "Chaos rules!" (PDF), Math Horizons: 11–13.
  6. 6,0 6,1 Kunnen, Aimee; Schlicker, Steven. «Regular Sierpinski Polyhedra» (PDF).
  7. Paul Bourke. «Platonic solid fractals and their complements», 2005. Arxivat de l'original el 9 de desembre 2014.