Polinomis de Jacobi

Gràfic de la funció polinomial de Jacobi $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$ amb $n=10$ i $\alpha =2$ i $\beta =2$ en el pla complex des de $-2-2i$ a $2+2i$ amb colors creats amb la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

En matemàtiques, polinomis de Jacobi (ocasionalment anomenats polinomis hipergeomètrics ) $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ són una classe de polinomis ortogonals clàssics. Són ortogonals respecte al pes $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ a l'interval $[-1,1]$. Els polinomis de Gegenbauer, i per tant també els polinomis de Legendre, Zernike i Chebyshev, són casos especials dels polinomis de Jacobi.

Els polinomis de Jacobi van ser introduïts per Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definicions

Mitjançant la funció hipergeomètrica

Els polinomis de Jacobi es defineixen mitjançant la funció hipergeomètrica de la següent manera:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),$

on $(\alpha +1)_{n}$ és el símbol de Pochhammer (per al factorial de caiguda). En aquest cas, la sèrie de la funció hipergeomètrica és finita, per tant s'obté la següent expressió equivalent:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.$

Fórmula de Rodrigues

Una definició equivalent ve donada per la fórmula de Rodrigues:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.$

Si $\alpha =\beta =0$, llavors es redueix als polinomis de Legendre :

$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.$

Expressió alternativa per a l'argument real

De veritat $x$ el polinomi de Jacobi es pot escriure alternativament com

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}$

i per a nombre sencer $n$

${z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}$

on $\Gamma (z)$ és la funció gamma.

En el cas especial que les quatre quantitats $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, $n+\alpha +\beta$ són nombres enters no negatius, el polinomi de Jacobi es pot escriure com

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$

(1)

La suma s'estén sobre tots els valors enters de $s$ per als quals els arguments dels factorials no són negatius.

Aplicacions

Matriu d de Wigner

L'expressió (1) permet l'expressió de la matriu d de Wigner $d_{m',m}^{j}(\phi )$ (per a $0\leq \phi \leq 4\pi$ ) en termes de polinomis de Jacobi:

$d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),$

on $M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)$.