Pressió sonora

La pressió sonora o pressió acústica és resultat de la mateixa propagació del so. Es defineix com la diferència de pressió instantània i la pressió atmosfèrica estàtica; és la variació de la pressió local de la pressió atmosfèrica ambiental (mitjana o d'equilibri), causada per una ona sonora. A l'aire, la pressió sonora es pot mesurar amb un micròfon, i a l'aigua amb un hidròfon.

L'energia provocada per les ones sonores genera un moviment ondulatori de les partícules de l'aire, provocant la variació alterna en la pressió estàtica de l'aire (petites variacions en la pressió atmosfèrica). En conseqüència d'aquestes variacions de pressió atmosfèrica es produeixen àrees on es concentren aquestes partícules (zones de concentració) i altres àrees queden menys saturades (zones de rarefacció). Les zones amb major concentració de molècules tenen major densitat i les zones de menor concentració tenen menor densitat. Quan aquestes ones es troben en el seu camí amb l'oïda, la pressió que exerceixen sobre el mateix no és igual per a tota la longitud d'ona.

La pressió atmosfèrica es mesura en pascals (Pa). Al Sistema Internacional d'Unitats (SI), 1 pascal (1 Pa) és igual a una força d'un newton (1 N) actuant sobre una superfície d'un metre quadrat (1 m²). La pressió atmosfèrica se situa entorn dels 100.000 Pa (establint-se com valor normalitzat els 101.325 Pa). Com en pascals les xifres obtingudes són molt grans, normalment, la pressió atmosfèrica, s'expressa en hectopascals (hPa), d'igual dimensió que els mil·libars, que queden en desús) i s'estableixen 1.013,25 hPa com a pressió atmosfèrica normalitzada a nivell del mar.

La pressió sonora també es pot mesurar en pascals, però, el seu valor és molt inferior al de l'atmosfèrica. El llindar del dolor se situa en els 20 Pa, mentre que el llindar d'audició se situa en els 20 micropascals (20 μPa). A més del pascal, per mesurar la pressió sonora s'utilitza el microbar (μbar), que és la milionèsima part del bar (1 Pa = 1 N / m² = 10 μbar i 1 μbar = 10-6 bar).

La principal diferència entre pressió atmosfèrica i pressió sonora és que, mentre que la pressió atmosfèrica canvia molt lentament, la pressió sonora alterna molt ràpidament entre valors negatius (menors que la pressió atmosfèrica) i positius (majors). El nombre de vegades que es repeteix un fenomen per unitat de temps és el que en física s'anomena freqüència. L'ésser humà no té sensibilitat davant totes les freqüències. El marge de freqüències que poden produir la sensació de so quan impressiona l'oïda humana és el que es coneix com a audiofreqüències i va dels 20 als 20.000 Hz.

Cal no confondre pressió acústica amb potència acústica. La confusió ve pel fet que la pressió sonora és la responsable directa de l'amplitud de l'ona i l'amplitud determinarà la quantitat d'energia (potència acústica) que conté un senyal sonor.

Per diferenciar entre sons més intensos (l'oïda suporta major quantitat de pressió sonora), de sons febles, s'utilitza l'anomenat nivell de pressió sonora.

Definició matemàtica

Diagrama de pressió sonora (silenci; so audible; pressió atmosfèrica; pressió sonora)

Una ona sonora en un mitjà de transmissió provoca una desviació (pressió sonora, una pressió dinàmica) en la pressió ambiental local, una pressió estàtica.

La pressió sonora, denotada p, es defineix per $$p_{\text{total}}=p_{\text{estatica}}+p,$$ on

• p_total és la pressió total,
• p_estatica és la pressió estàtica.

Mesures de so

Intensitat de so

Article principal: Intensitat de so

En una ona sonora, la variable complementària a la pressió sonora és la velocitat de la partícula. Junts, determinen la intensitat del so de l'ona.

La intensitat del so, denotada I i mesurada en W·m⁻² en unitats SI, es defineix per $$\mathbf {I} =p\mathbf {v} ,$$ on

• p és la pressió sonora,
• v és la velocitat de la partícula.

Impendància acústica

Article principal: Impedància acústica

La impedància acústica, denotada Z i mesurada en Pa·m⁻³·s en unitats SI, es defineix per $$Z(s)={\frac {{\hat {p}}(s)}{{\hat {Q}}(s)}},$$ on

• ${\hat {p}}(s)$ és la transformada de Laplace de la pressió sonora,
• ${\hat {Q}}(s)$ és la transformada de Laplace del cabal de volum del so.

La impedància acústica específica, denotada z i mesurada en Pa·m⁻¹·s en unitats SI, es defineix per $$z(s)={\frac {{\hat {p}}(s)}{{\hat {v}}(s)}},$$ on

• ${\hat {p}}(s)$ és la transformada de Laplace de la pressió sonora,
• ${\hat {v}}(s)$ és la transformada de Laplace de la velocitat de la partícula

Desplaçament de partícules

El desplaçament de partícules d'una ona sinusoïdal progressiva ve donat per $$\delta (\mathbf {r} ,t)=\delta _{\text{m}}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}),$$ on

• $\delta _{\text{m}}$ és l'amplitud del desplaçament de la partícula,
• $\varphi _{\delta ,0}$ és el canvi de fase del desplaçament de partícules,
• k és el vector d'ona angular,
• ω és la freqüència angular.

Es dedueix que la velocitat de les partícules i la pressió sonora al llarg de la direcció de propagació de l'ona sonora x estan donades per $$v(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)=\omega \delta _{\text{m}}\cos \left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}+{\frac {\pi }{2}}\right)=v_{\text{m}}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{v,0}),$$$$p(\mathbf {r} ,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,t)=\rho c^{2}k_{x}\delta _{\text{m}}\cos \left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}+{\frac {\pi }{2}}\right)=p_{\text{m}}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{p,0}),$$ on

• v_m és l'amplitud de la velocitat de la partícula,
• $\varphi _{v,0}$ és el canvi de fase de la velocitat de la partícula,
• p_m és l'amplitud de la pressió acústica,
• $\varphi _{p,0}$ és el canvi de fase de la pressió acústica.

Prenent les transformades de Laplace de v i p respecte al temps es produeix $${\hat {v}}(\mathbf {r} ,s)=v_{\text{m}}{\frac {s\cos \varphi _{v,0}-\omega \sin \varphi _{v,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}},$$ $${\hat {p}}(\mathbf {r} ,s)=p_{\text{m}}{\frac {s\cos \varphi _{p,0}-\omega \sin \varphi _{p,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}}.$$

A partir de $\varphi _{v,0}=\varphi _{p,0}$, l'amplitud de la impedància acústica específica ve donada per $$z_{\text{m}}(\mathbf {r} ,s)=|z(\mathbf {r} ,s)|=\left|{\frac {{\hat {p}}(\mathbf {r} ,s)}{{\hat {v}}(\mathbf {r} ,s)}}\right|={\frac {p_{\text{m}}}{v_{\text{m}}}}={\frac {\rho c^{2}k_{x}}{\omega }}.$$

En conseqüència, l'amplitud del desplaçament de la partícula està relacionada amb la de la velocitat acústica i la pressió del so per $$\delta _{\text{m}}={\frac {v_{\text{m}}}{\omega }},$$ $$\delta _{\text{m}}={\frac {p_{\text{m}}}{\omega z_{\text{m}}(\mathbf {r} ,s)}}.$$

Llei de l'invers del quadrat

Vegeu també: Llei de l'invers del quadrat

Quan es mesura la pressió sonora creada per una font sonora, també és important mesurar la distància de l'objecte, ja que la pressió sonora d'una ona sonora esfèrica disminueix a 1/r del centre de l'esfera (i no a 1/r², com la intensitat del so): $$p(r)\propto {\frac {1}{r}}.$$

Aquesta relació és una llei de l'invers.

Si la pressió sonora p₁ es mesura a una distància r₁ del centre de l'esfera, es pot calcular la pressió sonora p₂ en una altra posició r₂: $$p_{2}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,p_{1}.$$

La llei de la proporció inversa de la pressió sonora prové de la llei de l'invers del quadrat de la intensitat del so: $$I(r)\propto {\frac {1}{r^{2}}}.$$ En efecte, $$I(r)=p(r)v(r)=p(r)\left[p*z^{-1}\right](r)\propto p^{2}(r),$$ on

• $*$ és l'operador de convolució,
• z⁻¹ és la convolució inversa de la impedància acústica específica,

d'aquí la llei de la proporció inversa: $$p(r)\propto {\frac {1}{r}}.$$

La pressió del so també pot variar en direcció des del centre de l'esfera, de manera que poden ser necessàries mesures en diferents angles, depenent de la situació. Un exemple evident d'una font sonora, l'ona sonora esfèrica de la qual varia de nivell en diferents direccions, és un megàfon.

Nivell de pressió sonora

El nivell de pressió sonora (SPL) o nivell de pressió acústica (APL) és una mesura logarítmica de la pressió efectiva d'un so en relació amb un valor de referència. El nivell determina la intensitat del so que genera una pressió sonora (és a dir, del so que aconsegueix a una persona en un moment donat).

En acústica, l'amplitud és la quantitat de pressió sonora que exerceix la vibració en el medi elàstic (aire). Així, l'amplitud determinarà la quantitat d'energia que conté un senyal acústic. No s'ha de confondre amplitud amb volum o potència acústica, malgrat que és cert que com més fort se sent un so, major amplitud té, perquè s'exerceix una pressió major sobre el medi. El valor màxim positiu que pren l'amplitud d'una ona sinusoidal rep el nom de pic o cresta. El valor màxim negatiu, ventre o vall. El punt on el valor de l'ona s'anul·la al passar del valor positiu al negatiu, o a l'inrevés es coneix com a node, zero o punt d'equilibri. Quan es propaga una ona sonora per l'aire, s'origina una variació de pressió respecte a la pressió atmosfèrica existent. Aquesta variació de pressió és fàcilment mesurable i el seu valor es pot representar per una funció d'ona. L'oïda humana és capaç de detectar variacions de pressió acústica que van dels 2·10^-5 Pa fins als 200 Pa. Aquesta escala de pressions conté un rang tan elevat de valors que resulta totalment inadequada a nivells pràctics, per això es mesura en decibels (dB) i varia entre 0 dB llindar d'audició i 120 dB llindar del dolor.

El nivell de pressió sonora, indicat L_p i mesurat en dB, es defineix per $$L_{p}=\ln \left({\frac {p}{p_{0}}}\right)~{\text{Np}}=2\log _{10}\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)~{\text{B}}=20\log _{10}\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)~{\text{dB}},$$ on

• p és la mitjana quadràtica de la pressió sonora,
• p₀ és una referència de pressió sonora,
• 1 Np és el neper,
• 1 B = (1/2 ln 10) Np és el bel,
• 1 dB = (1/20 ln 10) Np és el decibel.

La pressió sonora de referència que s'utilitza habitualment a l'aire és p₀ = 20 μPa, que sovint es considera el llindar de l'oïda humana (aproximadament el so que fa un mosquit que vola a 3 m de distància). De l'expressió de decibels es pot deduir que els decibels no són un valor absolut, sinó que es relaciona sempre amb un valor de referència, en el cas de la pressió sonora els 0 dB corresponen a una pressió de 2·10^-5 Pa.

Les anotacions adequades per al nivell de pressió sonora utilitzant aquesta referència són L_{p/(20 μPa)} o Lp (re 20 μPa), però les notacions de sufix dB SPL, dB(SPL), dBSPL o d_BSPL són molt habituals, encara que no ho siguin. acceptat per la SI. La majoria de les mesures de nivell de so es faran en relació amb aquesta referència, és a dir, 1 Pa equivalrà a un SPL de 94 dB. En altres medis, com ara sota l'aigua, s'utilitza un nivell de referència d'1 μPa. Aquestes referències es defineixen a ANSI S1.1-2013.

El treballar en decibels té els seus inconvenients; no es poden sumar aritmèticament dos o més nivells sonors, s'ha de fer de forma logarítmica. Un altre dels inconvenients és que una petita diferència en el valor de decibels correspon a una diferència important d'energia sonora, ja que estem treballant amb valors exponencials (invers del logaritme). De fet, un augment de 3 dB en el nivell de soroll implica el doble de l'energia que porta l'ona. L'ús d'escales logarítmiques també té avantatges pràctiques, sobretot perquè evita les operacions de multiplicar i dividir magnituds físiques, ja que si les magnituds estan expressades en decibels, només cal sumar-les o restar-les, segons el cas.

De vegades és necessari saber el valor de pressió sonora màxim en un entorn laboral. Per a saber aquest valor es va definir el nivell pic com el valor de pressió sonora instantani en un ambient concret. Per a saber el valor pic, no s'ha d'integrar els valors de pressió sonora entre dos temps,si no que l'aparell simplement dona el valor de pressió sonora més elevat dins el període de mesura que tu li diguis. El valor pic de pressió sonora també es pot expressar en decibels si s'aplica la fórmula matemàtica de decibels. En aquest cas, en el numerador es posa el valor de pressió sonora més elevat i en el denominador, el valor de pressió de referència, és a dir, 2 · 10^-5 Pa. La diferència entre el nivell sonor i el nivell de pic s'anomena cresta del soroll i també s'expressa en dB.

El principal instrument per mesurar els nivells de so a l'entorn és el sonòmetre. La majoria dels sonòmetres proporcionen lectures en decibels ponderats A, C i Z, i han de complir les normes internacionals com la IEC 61672-2013.

Exemples

El límit inferior d'audibilitat es defineix com a SPL de 0 dB, però el límit superior no està tan clarament definit. Mentre que 1 atm (194 dB o 191 dB SPL) és la variació de pressió més gran que pot tenir una ona sonora sense distorsió a l'atmosfera terrestre (és a dir, si no es tenen en compte les propietats termodinàmiques de l'aire, en realitat les ones sonores es tornen progressivament no lineals a partir de 150 dB), les ones sonores més grans poden estar presents en altres atmosferes o altres mitjans, com ara sota l'aigua o a través de la Terra.

• 
  Corba isofònica, que mostra la pressió sonora en funció de la freqüència a diferents nivells de sonoritat percebuts

L'oïda detecta canvis en la pressió sonora. L'oïda humana no té una sensibilitat espectral plana (resposta en freqüència) en relació amb la freqüència versus l'amplitud. Els humans no perceben sons de baixa i alta freqüència tan bé com perceben sons entre 3.000 i 4.000 Hz, tal com es mostra a la corba isofònica. Com que la resposta en freqüència de l'oïda humana canvia amb l'amplitud, s'han establert tres ponderacions per mesurar la pressió sonora: A, B i C.

Per distingir les diferents mesures sonores, s'utilitza un sufix: El nivell de pressió sonora ponderat A s'escriu com a dB_A o L_A. El nivell de pressió acústica ponderat B s'escriu com a dB_B o L_B, i el nivell de pressió acústica ponderat C s'escriu com a dB_C o L_C. El nivell de pressió acústica no ponderat s'anomena «nivell de pressió sonora lineal» i sovint s'escriu com a dB_L o només L. Alguns instruments de mesura de so utilitzen la lletra «Z» com a indicació de SPL lineal.

Distància

La distància del micròfon de mesura des d'una font de so sovint s'omet quan es comenten les mesures SPL, fent que les dades siguin inútils, a causa de l'efecte inherent de la llei de la proporció inversa. En el cas de les mesures ambientals del soroll «de fons», no cal citar la distància, ja que no hi ha cap font única, però quan es mesura el nivell de soroll d'un equip específic, sempre s'ha d'indicar la distància. Una distància d'un metre (1 m) des de la font és una distància estàndard que s'utilitza amb freqüència. A causa dels efectes del soroll reflectit dins d'una habitació tancada, l'ús d'una cambra anecoica permet que el so sigui comparable a les mesures realitzades en un entorn de camp lliure.

Segons la llei de la proporció inversa, quan el nivell sonor L_p1 es mesura a una distància r₁, el nivell sonor L_p2 a la distància r₂ és $$L_{p_{2}}=L_{p_{1}}+20\log _{10}\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)~{\text{dB}}.$$

Fonts múltiples

La fórmula per a la suma dels nivells de pressió acústica de n fonts radiants incoherents és $$L_{\Sigma }=10\log _{10}\left({\frac {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\dots +p_{n}^{2}}{p_{0}^{2}}}\right)~{\text{dB}}=10\log _{10}\left[\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {p_{2}}{p_{0}}}\right)^{2}+\dots +\left({\frac {p_{n}}{p_{0}}}\right)^{2}\right]~{\text{dB}}.$$

Insertant les fórmules $$\left({\frac {p_{i}}{p_{0}}}\right)^{2}=10^{\frac {L_{i}}{10~{\text{dB}}}},\quad i=1,2,\ldots ,n$$ en la fórmula per a la suma dels rendiments dels nivells de pressió sonora, obtenim $$L_{\Sigma }=10\log _{10}\left(10^{\frac {L_{1}}{10~{\text{dB}}}}+10^{\frac {L_{2}}{10~{\text{dB}}}}+\dots +10^{\frac {L_{n}}{10~{\text{dB}}}}\right)~{\text{dB}}.$$

Exemples de pressió sonora

Exemples de pressió sonora a l'aire a pressió atmosfèrica estàndard

Font del so	Distància	Nivell de pressió sonora (tots els valors indicats són la pressió sonora efectiva tret que s'indiqui el contrari).
		(Pa)	(dBSPL)
Ones de xoc (ones sonores distorsionades > 1 atm; les valls de les formes d'ona es retallen a pressió zero)		>1.01×105	>191
Dispositiu termoacústic senzill i obert-tancat		1.26×104	176
Erupció del Krakatau de 1883	165 km		172
Tret d'un rifle .30-06 Springfield	1 m del tirador	7.09×103	171
Focs artificials	0.5 m	7.09×103	171
Granada atordidora	Ambient	1.60×103 ...8.00×103	158–172
Esclat d'un globus de 23 cm mentre s'infla	A l'orella	4.92×103	168
Esclat d'un globus de 23 cm quan s'aixafa	A l'orella	1.79×103	159
Esclat d'un globus de 23 cm mentre s'infla	0.5 m	1.42×103	157
Esclat d'un globus de 23 cm amb una agulla	A l'orella	1.13×103	155
LRAD 1000Xi (dispositiu acústic de llarg abast)	1 m	8.93×102	153
Esclat d'un globus de 23 cm mentre s'infla	1 m	731	151
Motor de reacció	1 m	632	150
Esclat d'un globus de 23 cm mentre s'infla	0.95 m	448	147
Esclat d'un globus de 23 cm amb una agulla	1 m	282.5	143
La veu humana més forta	2,5 cm	110	135
Trompeta	0.5 m	63.2	130
Trompeta vuvuzela	1 m	20.0	120
Threshold of pain	A l'orella	20–200	120–140
Risk of instantaneous noise-induced hearing loss	A l'orella	20.0	120
Motoserra de dos temps	1 m	6.32	110
Martell pneumàtic	1 m	2.00	100
Trànsit en una carretera transitada	10 m	0.20–0.63	80–90
Danys a l'audició (per exposició a llarg termini, no ha de ser continu)	A l'orella	0.36	85
Passenger car	10 m	0.02–0.20	60–80
Màxim identificat per l'EPA per protegir contra la pèrdua auditiva i altres efectes pertorbadors del soroll, com ara alteracions del son, estrès, detriment de l'aprenentatge, etc.	Ambient	0.06	70
TV (configurada a nivell de casa)	1 m	0.02	60
Conversa normal	1 m	2×10−3–0.02	40–60
Habitació molt tranquil·la	Ambient	2.00×10−4 ...6.32×10−4	20–30
Lleuger cruixit de fulles, respiració tranquil·la	Ambient	6.32×10−5	10
Llindar auditiu a 1 kHz	A l'orella	2.00×10−5	0
Cambra anecoica, Orfield Labs, Decibel A	Ambient	6.80×10−6	−9.4
Cambra anecoica, Universitat de Salford, Decibel A	Ambient	4.80×10−6	−12.4
Cambra anecoica, Microsoft, Decibel A	Ambient	1.90×10−6	−20.35

Bibliografia

• Beranek, Leo L. Acoustics (en anglès). Acoustical Society of America, 1993. 
• Bies, David A.; Hansen, Colin. Engineering Noise Control (en anglès), 2003. 
• Brueck, S. E.; Kardous, C. A.; Oza, A.; Murphy, W. J «NIOSH HHE Report No. 2013-0124-3208. Health hazard evaluation report: measurement of exposure to impulsive noise at indoor and outdoor firing ranges during tactical training exercises» ( PDF) (en anglès). U.S. Department of Health and Human Services, Centers for Disease Control and Prevention, National Institute for Occupational Safety and Health [Cincinnati, OH], 2014.
• Flamme, GregoryA; Liebe, Kevin; Wong, Adam «Estimates of the auditory risk from outdoor impulse noise I: Firecrackers» (en anglès). Noise and Health, 11(45), 2009. DOI: 10.4103/1463-1741.56216. ISSN: 1463-1741. PMID: 19805932.
• Franks, John R.; Stephenson, Mark R.; Merry, Carol J. Preventing Occupational Hearing Loss – A Practical Guide ( PDF) (en angllès). National Institute for Occupational Safety and Health, juny 1996. 
• Guignard, J. C.; King, P. F.. Aeromedical Aspects of Vibration and Noise (en anglès). North Atlantic Treaty Organization Advisory Group for Aerospace Research and Development Aerospace Medical Panel, 1972.  «A l'aire a una pressió atmosfèrica suposada d'1 bar (100.000 N/m²), això es produeix teòricament a aproximadament 191 dB SPL (treballant amb valors rms)..
• Longhurst, R. S.. Geometrical and Physical Optics (en anglès). Norwich: Longmans, 1967. 
• Morfey, Christopher L. Dictionary of Acoustics (en anglès). San Diego: Academic Press, 2001. ISBN 978-0125069403. 
• Raichel, Daniel R. The Science and Applications of Acoustics (en anglès). Nova York: Springer, 2006. 
• Roeser, Ross; Valente, Michael. Audiology: Diagnosis (en anglès). Thieme, 2007. 
• Self, Douglas. Small Signal Audio Design (en anglès). CRC Press, 2020. ISBN 978-1-000-05044-8.  «Aquest límit s'arriba quan la rarefacció crea un buit, perquè no es pot tenir una pressió inferior a aquesta. Això correspon a uns +194 dB SPL.»
• Swanepoel, De Wet; Hall III, James W.; Koekemoer, Dirk «Vuvuzela – good for your team, bad for your ears» ( PDF) (en anglès). South African Medical Journal, 100(4), febrer 2010. DOI: 10.7196/samj.3697. PMID: 20459912.
• Thompson, A.; Taylor, B. N.. «Sec. 8.7: Logarithmic quantities and units: level, neper, bel». A: Guide for the Use of the International System of Units (SI) 2008 Edition ( PDF) (en anglès). NIST Special Publication 811, novembre 2008. 
• Winchester, Simon. Krakatoa: The Day the World Exploded, August 27, 1883 (en anglès). Penguin/Viking, 2003. ISBN 978-0-670-91430-2. 
• Winer, Ethan. «cap. 1». A: The Audio Expert (en anglès). Nova York; Londres: Focal Press, 2013. ISBN 978-0-240-82100-9. 

Vegeu també

• Acústica
• Fon (unitat)
• Llei de Weber-Fechner
• Potència acústica
• Son (unitat)

Enllaços externs

• «Sound Pressure and Sound Power, Effect and Cause» ( PDF) (en anglès).
• «Conversion of Sound Pressure to Sound Pressure Level and Vice Versa» (en anglès).
• «Table of Sound Levels, Corresponding Sound Pressure and Sound Intensity» (en anglès).
• «Ohm's Law as Acoustic Equivalent, Calculations» (en anglès).
• «Relationships of Acoustic Quantities Associated with a Plane Progressive Acoustic Sound Wave» ( PDF) (en anglès).
• «How Many Decibels Is Twice as Loud? Sound Level Change and the Respective Factor of Sound Pressure or Sound Intensity» (en anglès).