Problema d'escacs matemàtic

Un problema d'escacs matemàtic és un problema matemàtic formulat fent servir un escaquer o peces d'escacs. Aquesta mena de problemes pertanyen a la matemàtica recreativa. Els més coneguts són el problema de les vuit dames o el problema del cavall, que estan connectats amb la teoria de grafs i la combinatòria. Molts matemàtics famosos han estudiat problemes d'escacs i matemàtica, com per exemple, Euler, Legendre i Gauss.^[1] Més que trobar una solució a un problema particular, els matemàtics són sovint interessats a comptar el nombre total de possibles solucions, i en trobar-ne amb propietats concretes, així com en la generalització dels problemes en taulers de NxN caselles, o rectangulars.

Problemes d'independència

Els problemes d'independència són el grup de problemes següents: Donada una determinada peça d'escacs (dama, torre, alfil, cavall, o rei), cal trobar el màxim nombre d'aquestes peces que es poden situar en un escaquer de tal manera que cap de les peces n'ataqui una altra. També es requereix trobar un posicionament concret de les peces per a aquest màxim nombre. El més conegut d'aquest tipus de problemes és el de les vuit reines. Els problemes poden ser ampliats amb la pregunta de quantes possibles solucions existeixen. Una altra generalització seria plantejar el mateix problema, però per taulers de NxN caselles.

El nombre màxim de reis independents en un tauler de 8x8 és de 16, dames - 8, torres - 8, alfils - 14, cavalls - 32.^[2] A continuació es mostren solucions per reis i alfils. Per obtenir 8 torres independents n'hi ha prou amb situar-les en una de les diagonals principals. Una solució per 32 cavalls independents seria situar-los en totes les caselles del mateix color.

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

16 reis independents

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

14 alfils independents

Problemes de dominació

Una altra mena de problemes matemàtics d'escacs és el problema de dominació. En aquests problemes es requereix trobar el nombre mínim de peces de la mena donada, i situar-les al tauler de tal manera, que totes les caselles lliures quedin amenaçades com a mínim per una peça. El nombre mínim de reis per dominar el tauler és 9, dames - 5, torres - 8, alfils - 8, cavalls - 12. Per obtenir 8 torres dominants, hom les pot situar en una de les diagonals principals. Solucions per les altres peces són a continuació.

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

9 reis dominants

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

5 dames dominants

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

8 alfils dominants

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

12 cavalls dominants

Els problemes de dominació es formulen de vegades amb el plantejament de trobar el nombre mínim de peces que ataquin totes les caselles del tauler, incloses les ocupades.^[3] La solució per les torres és situar-les totes en la mateixa fila o en la mateixa columna. Solucions per les altres peces són a continuació.

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

12 reis atacant totes les caselles

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

5 dames atacant totes les caselles

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

10 alfils atacant totes les caselles

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

14 cavalls atacant totes les caselles

Problemes de recorregut de peces

Aquesta mena de problemes pretenen buscar un recorregut per a una peça, de tal manera que visiti totes les caselles del tauler. El més conegut d'aquests problemes és el problema del cavall. A més a més del cavall, aquesta mena de recorreguts existeixen pel rei, dama i torres. Els alfils no són capaços d'arribar a totes les caselles del tauler, de manera que en el seu cas concret el problema es formula per assolir totes les caselles d'un color.^[4]

Problemes de permutació

En problemes de permutació, una posició inicial s'ha de transformar en una altra.^[5] Això s'hauria de fer fent només moviments legals en escacs, tot i que capturar una peça rival normalment no està permès. Dos d'aquestr problemes es mostren a continuació. En el primer, l'objectiu és canviar les posicions dels cavalls blancs i negres. Al segon, les posicions dels alfils s'han de permutar, amb una limitació addicional, que és que les peces enemigues no s'ataquin les unes a les altres.

4

Puzle de permutació de cavalls

			[[Fitxer:chess bd 4 t45.svg\|26px\|d5]]
			[[Fitxer:chess 3 t45.svg\|26px\|d4]]
			[[Fitxer:chess 2 t45.svg\|26px\|d3]]
			[[Fitxer:chess 1 t45.svg\|26px\|d2]]
			[[Fitxer:chess bl a b c d t45.svg\|26px\|d1]]

Puzle de permutació d'alfils

Notes i referències

↑ Gik, p.11
↑ Gik, p.98
↑ Gik, p.101.
↑ Gik, p. 87
↑ Gik, p. 114.

Bibliografia

Evgeni J Gik. Schach und Mathematik. Moskau, Verlag MIR und Leipzig, Urania-Verlag, 1986. ISBN 978-3930640379. (en alemany). Alguns capítols del llibre són disponibles en línia: Евгений Гик "Шахматы и математика" and as DJVU file Arxivat 2011-07-22 a Wayback Machine. (in Russian).

Vegeu també

Enllaços externs

Chess by Weisstein, Eric W. from MathWorld.
Chess-Piece Arrangement Problems by George Jelliss (from The Games and Puzzles Journal).
Chessboard Tasks by Ed Pegg Jr.

[1] Gik, p.11

[2] Gik, p.98

[3] Gik, p.101.

[4] Gik, p. 87

[5] Gik, p. 114.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]