Problema del quadrat inscrit
La Conjectura de Toeplitz o problema del quadrat inscrit és un problema matemàtic del camp de la geometria encara sense resoldre. La seva formulació és la següent: Totes les corbes tancades simples del pla contenen els quatre vèrtexs d'un quadrat? Se sap que això és cert si la corba és convexa o per trams suau i en altres casos especials. El problema va ser proposat per Otto Toeplitz el 1911. Alguns resultats positius inicials van ser obtinguts per Arnold Emch[1] i Lev Schnirelmann.
Descripció
[modifica]Sigui C una corba de Jordan, es diu que un polígon P està inscrit en C si tots els vèrtexs de P pertanyen a C. El problema quadrat inscrit, es pregunta:
- Tota corba de Jordan admet un quadrat inscrit?
No es requereix que els vèrtexs del quadrat apareguin al llarg de la corba en un ordre particular.
Algunes figures, com el cercle i el quadrat, admeten un nombre infinit de quadrats inscrits, mentre que si C és un triangle obtús llavors admet exactament un quadrat inscrit.
El resultat més encoratjador fins ara es deu a Walter Stromquist, que va demostrar que cada corba simple d'un pla local monòton admet un quadrat inscrit.[2] La condició és que per a qualsevol punt p, la corba C pot ser representada localment com un graf de la funció y = f(x). Més concretament, per a qualsevol punt p en C hi ha una zona propera U(p) tal que cap corda de C en aquesta zona és paral·lela a una direcció fixa n(p) (la direcció de la l'eix y). Les corbes localment monòtones inclouen totes les corbes convexes tancades i tots els trossos de la corba C ¹ sense cúspides.
La resposta afirmativa és també coneguda per les corbes centralment simètriques.[3]
Variants i generalitzacions
[modifica]Hom es pot preguntar si altres formes poden ser inscrites en una corba de Jordan arbitrària. Se sap que per a qualsevol triangle T i una corba de Jordan C, hi ha un triangle semblant a T inscrit en C. A més, el conjunt de vèrtex d'aquests triangles és dens en C.[4][5] No només això, sinó que a més el conjunt de vèrtexs d'aquests triangles és dens a C.[6] En particular, hi ha sempre un triangle equilàter inscrit. També es coneix que qualsevol corba de Jordan admet un rectangle inscrit.
Algunes generalitzacions del problema del quadrat inscrit consideren polígons inscrits en corbes i altres objectes continus en espais euclidians de dimensions superiors. Per exemple, Walter Stromquist va demostrar que tota corba tancada contínua C en R n que satisfaci la condició que no hi ha dos cordes de C perpendiculars en una zona propera, admet un quadrilàter inscrit amb costats iguals i diagonals iguals. Aquesta classe de corbes inclou totes les corbes C ². Jackob Nielsen i Steven Wright van demostrar que un continu simètric K en R n conté molts rectangles inscrits. I finalment, Heinrich W Guggenheimer va demostrar que cada hipersuperficie C 3-difeomorfa a l'esfera Sn-1 conté 2 n vèrtexs d'un cub n regular euclidià.[7]
Referències
[modifica]- ↑ Emch, Arnold «On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs». American Journal of Mathematics, 38, 1, 1916, p. 6–18. DOI: 10.2307/2370541.
- ↑ Stromquist, Walter «Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves». Mathematika, 36, 2, 1989, p. 187–197. DOI: 10.1112/S0025579300013061.
- ↑ Nielsen, Mark J.; Wright, S. E. «Rectangles inscribed in symmetric continua». Geometriae Dedicata, 56, 3, 1995, p. 285–297. DOI: 10.1007/BF01263570.
- ↑ Meyerson, Mark D. «Equilateral triangles and continuous curves». Fundamenta Mathematicae, 110, 1, 1980, p. 1–9.
- ↑ Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. «The tripos problem». The Journal of the London Mathematical Society, 24, 1, 1981, p. 182–192. DOI: 10.1112/jlms/s2-24.1.182.
- ↑ Nielsen, Mark J. «Triangles inscribed in simple closed curves». Geometriae Dedicata, 43, 3, 1992, p. 291–297. DOI: 10.1007/BF00151519.
- ↑ Guggenheimer, H. «Finite sets on curves and surfaces». Israel Journal of Mathematics, 3, 1965, p. 104–112. DOI: 10.1007/BF02760036.
Bibliografia addicional
[modifica]- Victor Klee i Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991
Enllaços externs
[modifica]- Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem
- Inscribed squares: Denne speaks al blog de Jordan Ellenberg