Procés de Cauchy
En teoria de la probabilitat, un procés de Cauchy és un tipus de procés estocàstic. Hi ha formes simètriques i asimètriques del procés de Cauchy.[1] El terme no especificat "procés de Cauchy" s'utilitza sovint per referir-se al procés de Cauchy simètric.[2]
El procés de Cauchy té diverses propietats:
- És un procés Lévy [3][4][5]
- És un procés estable [6][7]
- És un procés de salt pur [8]
- Els seus moments són infinits.
El procés simètric de Cauchy es pot descriure mitjançant un moviment brownià o un procés de Wiener subjecte a un subordinador de Lévy.[9] El subordinador de Lévy és un procés associat a una distribució de Lévy amb un paràmetre de localització de i un paràmetre d'escala de .[9] La distribució de Lévy és un cas especial de la distribució gamma inversa. Per tant, utilitzant per representar el procés de Cauchy i per representar el subordinador de Lévy, el procés simètric de Cauchy es pot descriure com:
La distribució de Lévy és la probabilitat del primer temps d'impacte per a un moviment brownià i, per tant, el procés de Cauchy és essencialment el resultat de dos processos de moviment brownià independents.[10]
La representació de Lévy-Khintchine per al procés de Cauchy simètric és un triplet amb deriva zero i difusió zero, donant un triplet de Lévy-Khintchine de , on .[11]
La funció característica marginal del procés de Cauchy simètric té la forma: [12][13]
![{\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cbd54f35159559645600415ec5852b783b2353)
La distribució de probabilitat marginal del procés de Cauchy simètric és la distribució de Cauchy la densitat de la qual és [14][15]
![{\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f3f4481cd6c44c4348a891fb2252bdbfccf439)
Referències
[modifica]- ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
- ↑ Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A.. «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». A: Kabanov, Y.. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift (en anglès). Springer, 2006, p. 228. ISBN 9783540307884.
- ↑ Winkel, M.. «Introduction to Levy processes» (en anglès) p. 15–16. [Consulta: 7 febrer 2013].
- ↑ Jacob, N.. Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3 (en anglès). Imperial College Press, 2005, p. 135. ISBN 9781860945687.
- ↑ Bertoin, J.. «Some elements on Lévy processes». A: Shanbhag, D.N.. Stochastic Processes: Theory and Methods (en anglès). Gulf Professional Publishing, 2001, p. 122. ISBN 9780444500144.
- ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
- ↑ Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A.. «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». A: Kabanov, Y.. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift (en anglès). Springer, 2006, p. 228. ISBN 9783540307884.
- ↑ Kroese, D.P.. Handbook of Monte Carlo Methods (en anglès). John Wiley & Sons, 2011, p. 214. ISBN 9781118014950.
- ↑ 9,0 9,1 Applebaum, D.. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (en anglès) p. 37–53. University of Sheffield.
- ↑ Applebaum, D.. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (en anglès) p. 37–53. University of Sheffield.
- ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
- ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
- ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
- ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
- ↑ Itô, K.. Essentials of Stochastic Processes (en anglès). American Mathematical Society, 2006, p. 54. ISBN 9780821838983.