Procés de Gauss–Màrkov

Els processos estocàstics de Gauss-Màrkov (anomenats així després de Carl Friedrich Gauss i Andrey Màrkov) són processos estocàstics que compleixen els requisits tant per als processos gaussians com per als processos de Màrkov.^[1]^[2] Un procés estacionari de Gauss-Màrkov és únic fins a reescalar; aquest procés també es coneix com a procés d'Ornstein–Uhlenbeck.^[3]

Els processos de Gauss-Markov obeeixen a les equacions de Langevin.^[4]

Propietats bàsiques

Tot procés de Gauss-Màrkov X(t) posseeix les tres propietats següents:

Si h ( t ) és una funció escalar diferent de zero de t, aleshores Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) també és un procés de Gauss-Màrkov
Si f ( t ) és una funció escalar no decreixent de t, aleshores Z ( t ) = X ( f ( t )) també és un procés de Gauss-Màrkov
Si el procés no és degenerat i el quadrat mitjà és continu, aleshores existeix una funció escalar diferent de zero h ( t ) i una funció escalar estrictament creixent f ( t ) tal que X ( t ) = h ( t ) W ( f ) ( t )), on W ( t ) és el procés de Wiener estàndard.

La propietat (3) significa que tot procés continu de Gauss-Màrkov no degenerat es pot sintetitzar a partir del procés estàndard de Wiener (SWP).

Altres propietats

Un procés estacionari de Gauss-Markov amb variància ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ i constant de temps $\beta ^{-1}$ té les següents propietats.

Autocorrelació exponencial: ${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.$
Una funció de densitat espectral de potència (PSD) que té la mateixa forma que la distribució de Cauchy: ${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.$ (Tingueu en compte que la distribució de Cauchy i aquest espectre difereixen pels factors d'escala).
L'anterior produeix la següent factorització espectral: ${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.$ que és important en el filtratge de Wiener i altres àrees.

També hi ha algunes excepcions trivials a tot l'anterior.

Referències

↑ C. E. Rasmussen & C. K. I. Williams. Gaussian Processes for Machine Learning (en anglès). MIT Press, 2006, p. Appendix B. ISBN 026218253X.
↑ Lamon, Pierre. 3D-Position Tracking and Control for All-Terrain Robots (en anglès). Springer, 2008, p. 93–95. ISBN 978-3-540-78286-5.
↑ «Gaussian, Markov and stationary processes» (en anglès). [Consulta: 9 gener 2025].
↑ Bob Schutz, Byron Tapley, George H. Born. Statistical Orbit Determination (en anglès), 2004-06-26, p. 230. ISBN 978-0-08-054173-0.

[Rasmussen2006-1] C. E. Rasmussen & C. K. I. Williams. Gaussian Processes for Machine Learning (en anglès). MIT Press, 2006, p. Appendix B. ISBN 026218253X.

[Lamon2008-2] Lamon, Pierre. 3D-Position Tracking and Control for All-Terrain Robots (en anglès). Springer, 2008, p. 93–95. ISBN 978-3-540-78286-5.

[3] «Gaussian, Markov and stationary processes» (en anglès). [Consulta: 9 gener 2025].

[4] Bob Schutz, Byron Tapley, George H. Born. Statistical Orbit Determination (en anglès), 2004-06-26, p. 230. ISBN 978-0-08-054173-0.

[1]

[2]

[3]

[4]