Progressió geomètrica

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Una successió geomètrica amb raó $r\neq 0$ i primer terme $a$ és

a,\,ar,\,ar^{2},ar^{3},\dots

Se sol denotar per $a_{n}$ al terme que ocupa la posició $n$ de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

a_{n+1}=a_{n}\cdot r

Exemples

La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó $r=2$ i primer terme $a_{1}=1$ .
La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó $r=2/3$ i primer terme $a_{1}=729$ .
La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó $r=-1$ i primer terme $a_{1}=3$ .

Terme general

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme $a_{1}$ i de la raó $r$ mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:

a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1},\forall n\in \mathbb {N}

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica

La suma dels primers $n$ termes de la successió $a_{n}$ és

S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}

En el cas que $r=1$ , aleshores $S_{n}=a_{1}\cdot n$ . Si $r\neq 1$ , aleshores^[1]

S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}

La suma és

S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}

Multipliquem ambdós costats per $1-r$ i desenvolupem l'expressió de la dreta:

(1-r)S_{n}=(1-r)(a_{1}+\cdots +a_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{1}r+\cdots +a_{n}r)=

=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}.

D'on, aïllant $S_{n}$ , obtenim

S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n+1}}{1-r}}={\frac {a_{1}-a_{1}r^{n}}{1-r}}=a_{1}\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

S_{n}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, $|r|<1$ , aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:^[1]

S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

S_{\infty }={\frac {1}{1-1/5}}={\frac {5}{4}}

Monotonia

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior ( $a_{n}\geq a_{n-1}$ ), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior ( $a_{n}\leq a_{n-1}$ ), constant quan tots els termes són iguals ( $a_{n}=a_{n-1}$ ) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan $r<0$ ).^[2]