Radi espectral

Si $A$ és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex $E$, hom anomena radi espectral de $A$, denotat $\rho (A)$, el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de $A$. Sempre té un valor inferior o igual a la norma operacional de $A$.

En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$, el radi espectral és igual a $\max _{i}{\left|\lambda _{i}\right|}$.

En conseqüència, per a tota norma matricial N, és a dir, per a tota àlgebra normada sobre $M_{n}(\mathbb {R} )$ (respectivament $M_{n}(\mathbb {C} )$) i per a tota matriu A de $M_{n}(\mathbb {R} )$ (respectivament $M_{n}(\mathbb {C} )$), es té que $\rho (A)\leq N(A)$.

Demostració
Sigui $\lambda$ un valor propi de $A$, i sigui $x$ un valor propi associat a $\lambda$. Denotem per $B$ la matriu quadrada on la primera columna és $x$ i les altres columnes són nul·les. Tenim que $AB=\lambda B$; per tant, $|\lambda |N(B)=N(AB)\leq N(A)N(B)$. Aquesta expressió la podem simplificar per $N(B)$, ja que el vector $x$ és no nul.

A més, hem demostrat que $\rho (A)=\inf N(A)$, la fita inferior presa sobre el conjunt de les normes subordinades, i d'aquí també sobre les àlgebres normades.

El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral $\rho (A)$ d'un endomorfisme $A$ ve donat per la fórmula

$\rho (A)=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}$.

Per un operador normal (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, $\|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)$.

El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu $M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ té un radi espectral 0, però $M\neq 0$, d'on $\|M\|>0=\rho (M)$ (més precisament, $\|M\|=1$ perquè es té $\|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1$).

Bibliografia

• Lax, Peter D. Functional Analysis. Wiley-Interscience, 2002. ISBN 0-471-55604-1.  (anglès)

Vegeu també

• Espectre (anàlisi funcional)