Relació d'equivalència

Sigui $A\,$ un conjunt qualsevol, una relació en $A\,$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualsevol de $A\,$ satisfan la relació o no. Una relació és relació d'equivalència si compleix les propietats reflexiva, simètrica i transitiva.^[1]

La relació d'equivalència agrupa els elements d'un conjunt amb subconjunts disjunts d'elements que tenen alguna propietat en comú, definint d'aquesta forma la noció de classe d'equivalència. I finalment això ens permet construir nous conjunts reunint tots els elements similars en un únic element. D'aquesta forma s'arriba al concepte de conjunt quocient.

Definició

Definició formal

Una relació d'equivalència $\sim \,$ en un conjunt $A\,$ és una relació que, $\forall a,b,c\in A\,$ compleix les següents propietats:

Propietat reflexiva: $a\sim a\,$ .
Propietat simètrica: $a\sim b\Longrightarrow b\sim a\,$ .
Propietat transitiva: $a\sim b,b\sim c\Longrightarrow a\sim c\,$ .

Definició equivalent

Es pot dir també, que una relació d'equivalència és una relació reflexiva i circular.

Una relació és circular si: $\forall a,b,c\in A,a\sim b,b\sim c\Longrightarrow c\sim a$

Exemples

Si definim en el conjunt $\mathbb {N}$ la següent relació: $\forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,$ si $a\,$ i $b\,$ són tots dos parells,o tots dos senars. Evidentment, aquesta relació defineix una relació d'equivalència en $\mathbb {N} \,$ .

Si definim en el mateix conjunt $\mathbb {N} \,$ la relació $\forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,$ si $a<b\,$ . Evidentment, aquesta relació no és una relació d'equivalència, ja que no compleix ni la propietat reflexiva, ni la simètrica encara que compleix la propietat transitiva.

Classes d'equivalència

Tota relació d'equivalència ens permet dividir el conjunt $A\,$ en subconjunts disjunts, on cada subconjunt està format per tots els elements relacionats entre ells. Cada un d'aquests subconjunts és una classe d'equivalència, generada per la relació d'equivalència $\sim \,$ . La classe d'equivalència d'un element $a\in A\,$ , que escriurem per $\sim a\,$ està format per: $\sim a=\left\{b\in A|a\sim b\right\}\,$ , amb les següents característiques:

$\sim a\,$ és un subconjunt de $A\,$ .
$\sim a\,$ no és buit. Com a mínim conté $a\,$ .
Inversament, $\forall a\in A\,$ pertany com a mínim a una classe d'equivalència, la seva.
$\sim a=\sim b\Longleftrightarrow b\in \sim a\,$ .
$b\notin \sim a\Longleftrightarrow (\sim a\cap \sim b)=\emptyset \,$ .

O sigui, tota relació d'equivalència en un conjunt $A\,$ , defineix una partició de $A\,$ .

Conjunt quocient

Definició

El conjunt quocient de $A\,$ per la relació d'equivalència $\sim \,$ , que escriurem $A/\sim \,$ , és el conjunt de les classes d'equivalència de $A\,$ per $\sim \,$ : $A/\sim =\left\{\sim a|a\in A\right\}\,$ .

Exemple

Fixem un valor $m\,$ , tal que $m>1\,$ i $m\in \mathbb {Z} \,$ . Direm que dos nombres enters $a\,$ i $b\,$ , estan relacionats si $a-b\in \left(m\right)\,$ . És a dir que estem creant una relació en el conjunt $\mathbb {Z} \,$ a partir d'un valor $m\,$ , de tal forma que dos elements de $\mathbb {Z} \,$ són de la mateixa classe d'equivalència si la seva divisió entera per $m\,$ té la mateixa resta.

Evidentment és una relació d'equivalència, ja que compleix les propietats imposades.
La classe d'equivalència de $a\,$ , serà: $\sim a=\left\{k\cdot m+a\right\}\,$ , $\forall k\in \mathbb {Z} \,$ .
El seu conjunt quocient estarà format per ( $m\,$ ) elements.