Sèrie alternada

En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},$

amb a_n ≥ 0 (o a_n ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme a_n convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|a_n+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!$

divergeix, mentre la versió que alternada

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!$

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió $a_{n}$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}$

convergeix.

La suma parcial

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si $a_{n}$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que $a_{n+1}$. Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió $a_{n}$ tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint $m<n$

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}$

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que $a_{k}-a_{k+1}>0$; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si $n$ és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que $a_{m+1}\rightarrow 0$ quan $m\rightarrow \infty$, la successió de sumes parcials és Cauchy i, per tant, la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de $n$, també demostra que

$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.$

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.