Sèrie trigonomètrica

Una sèrie trigonomètrica és un tipus de sèrie amb la forma:

${\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).$

S'anomena sèrie de Fourier quan els termes A_n i B_n tenen la forma:

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\quad (n=0,1,2,3\dots )$

$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\quad (n=1,2,3,\dots )$

on f és una funció integrable.

Zeros d'una sèrie trigonomètrica

La unicitat i els zeros de les sèries trigonomètriques van ser una àrea molt activa de recerca al segle xix a Europa. Primer, Georg Cantor va demostrar que si una sèrie trigonomètrica és convergent cap a una funció f(x) en l'interval [0, 2π], quan és idèntica a zero, o de forma més general, és no-nul·la en un conjunt finit de punts, llavors els coeficients de la sèrie són tots zero. Cinc-cents anys abans, els matemàtics de l'Índia, especialment els de l'escola de Kerala com Madhava de Sangamagrama i Nilakantha Somayaji, ja havien creat les bases completes de la mateixa teoria.

Més endavant Georg Cantor va demostrar que si el conjunt S (en el qual f és no-nul·la) és infinit, però el conjunt derivat S' de S és finit, llavors els coeficients són tots zero. De fet, va demostrar un resultat més general. Sigui S₀ = S i sigui S_k+1 el conjunt derivat de S_k. Si hi ha un nombre finit n pel qual S_n és finit, llavors tots els coeficients són zero. Posteriorment, Lebesgue va demostrar que si hi ha un nombre ordinal α infinit tal que S_α és finit, llavors els coeficients de la sèrie són tots zero. El treball de Cantor sobre el famós problema de la unicitat de la sèrie li va portar al descobriment dels nombres ordinals transfinits, que apareixen com els subíndexs α en S_α.

Bibliografia sobre sèries trigonomètriques

Antoni Zygmund va escriure un tractat clàssic en dos volums titulat "Trigonometric Series" (Sèries Trigonomètriques), on s'analitzen nombrosos aspectes d'aquestes sèries. La primera edició constava d'un sol volum, publicat el 1935 (amb el títol lleugerament diferent "Trigonometrical Series"). La segona edició de 1959 va tenir una gran difusió. Comprenia dos volums, encara que va ser reimprès després en una edició de butxaca d'un sol tom. La tercera edició de 2002 és similar a la segona edició, amb l'addició d'un prefaci de Robert A. Fefferman sobre desenvolupaments recents, en particular sobre el teorema de Carleson sobre la convergència de funcions quadràtiques integrables.

Bibliografia

• Zygmund, Antoni. Robert A. Fefferman. Trigonometric series. Vol. I, II. 3a. Cambridge University Press, 2002 (Cambridge Mathematical Library). ISBN 978-0-521-89053-3.