Semiespai

En geometria, un semiespai és qualsevol de les dues parts en les quals un pla divideix l'espai euclidià tridimensional. Més generalment, un semiespai és qualsevol de les dues parts en les quals un hiperplà divideix un espai afí. És a dir, els punts que no són incidents a l'hiperplà són particionats en dos conjunts convexos (és a dir, semiespais) tals que qualsevol subespai que connecta un punt d'un conjunt a un punt de l'altre ha d'intersecar l'hiperplà.

Un semiespai pot ser o bé obert o bé tancat. Un semiespai obert és qualsevol dels dos conjunts oberts produïts per la sostracció d'un hiperplà de l'espai afí. Un semiespai tancat, d'altra banda, és la unió d'un semiespai obert i l'hiperplà que el defineix.

Si l'espai és bidimensional, llavors el semiespai s'anomena semiplà (obert o tancat). Un semiespai en l'espai unidimensional s'anomena raig.

Definició a partir d'una inequació

Un semiespai es pot definir a partir d'una inequació lineal, derivada de l'equació lineal que especifica l'hiperplà que el conforma. Una desigualtat (inequació) lineal estricta defineix un semiespai obert:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b$

Una no estrica defineix, d'altra banda, un semiespai tancat:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b$

Aquí s'assumeix que no tots els nombres reals a₁, a₂, ..., a_n són zero.

Propietats

• Un semiespai és un conjunt convex
• Qualsevol conjunt convex es pot descriure com la intersecció (possiblement infinita) de semiespais

Semiespais superior i inferior

El semiespai superior és el semiespai de tot (x₁, x₂, ..., x_n) tal que x_n > 0 (≥ 0). El semiespai inferior es defineix de manera similar, però requereix que x_n siguin no positius.

Vegeu també

• Semiplà de Poncaré

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Half-Space» a MathWorld (en anglès).