Successió (matemàtiques)

Gràfica d'una successió convergent.

En matemàtiques, una successió o seqüència és una llista ordenada d'objectes. Més formalment, s'anomena successió una aplicació definida en el conjunt dels nombres naturals, o un subconjunt seu, i que pren valors en un conjunt arbitrari. Si aquest altre conjunt és el dels nombres reals es diu que és una successió de nombres reals; si és un conjunt de funcions, es diu successió de funcions, etc.

Per exemple, una successió de nombres reals és una aplicació

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} \end{matrix}}$

A diferència de la notació habitual per a representar els valors d'una aplicació, on la variable s'acostuma a escriure entre parèntesis, $a(n)$, la variable d'una successió s'acostuma a representar com a subíndex: $a_{n}$. Així doncs, els valors de la successió a són

${\begin{matrix}&a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}$

L'element $a_{n}$ és el terme d'índex n de la successió a. També és habitual representar una successió $a$ amb la notació

${\begin{matrix}&(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\end{matrix}}$.

Pel que fa al conjunts d'índexs, de vegades és còmode que el primer terme de la successió tingui índex 1. En aquest cas, la successió seria ${\begin{matrix}a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}$ i s'escriuria ${\begin{matrix}(a_{n})_{n\geq 1}\end{matrix}}$. Quan queda clar, pel context, quin és el conjunt d'índexs, simplement s'escriu ${\begin{matrix}(a_{n}).\end{matrix}}$

Es pot definir una successió tant explícitament com implícitament. Alguns exemples de successions definides explícitament serien

$a_{n}=n^{2},\ \ \ (a_{n})=(0,1,4,9,16...)$

$a_{n}=1/n,\ \ n\geq 1,\ \ \ (a_{n})=(1,1/2,1/3,1/4,1/5...)$

$a_{n}=(-1)^{n},\ \ \ (a_{n})=(1,-1,1,-1,1,-1\ldots )$

$a_{n}=\cos(n\pi /2),\ \ \ (a_{n})=(1,0,-1,0,1,0,-1...)$.

També moltes successions es defineixen de manera implícita usant una recurrència, per exemple:

Progressió geomètrica de raó $r$: $a_{n+1}=ra_{n},\ \ a_{0}$ donat.

Successió de Fibonacci: $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$, $a_{0}=0,\ a_{1}=1$, $\ \ (a_{n})=(0,1,1,2,3,5,8,13\ldots )$.

La successió de la conjectura de Collatz: $a_{n+1}={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ parell}}\\3n+1&{\text{si }}n{\text{ senar}}\end{cases}},\ \ a_{0}>0\ {\text{ enter donat}}.$

La successió dels nombres primers: $a_{0}=2$, i $a_{n+1}$és el menor nombre enter més gran que $a_{n}$que no és divisible per cap dels $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$.

S'anomena subsuccessió o successió parcial d'una successió donada $(a_{n})$ a una altra que s'obté de la primera eliminant alguns dels seus termes. Per exemple, la successió $(-1)^{n}$és una subsuccessió de la successió $\cos(n\pi /2)$, ambdues considerades més amunt.

Les successions tenen una gran importància en anàlisi matemàtica i en topologia, amb els conceptes de límit, de successió convergent i de successió de Cauchy, així com el de sèrie convergent.

Bibliografia

• Ortega Aramburu, Joaquin M. Introducció a l'Anàlisi Matemàtica. Bellaterra (Barcelona): Servei de Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona, 1990. ISBN 84-7488-800-X, 84-7488-809-3. 
• Perelló, Carles. Càlcul Infinitesimal. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7. 

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió de Farey
• Successió d'Ulam