Teorema de Bendixson-Dulac

Segons el teorema de Dulac, qualsevol sistema autònom 2D amb una òrbita periòdica té una regió amb divergència positiva i negativa dins d'aquesta òrbita. Aquí representats per regions vermelles i verdes respectivament

En matemàtiques, el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemes dinàmics estableix que si existeix una funció $\varphi (x,y)$ $C^{1}$ (anomenada la funció Dulac) tal que l'expressió

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}$

té el mateix signe $\neq 0$ gairebé pertot en una regió simplement connex del pla, llavors el sistema autònom del pla

${\frac {dx}{dt}}=f(x,y),$

${\frac {dy}{dt}}=g(x,y)$

no té solucions periòdiques no-constants que es trobin completament dins de la regió. «Gairebé pertot» significa a tot arreu excepte possiblement en un conjunt de mesura 0, com un punt o línia.

El teorema va ser establert per primera vegada pel matemàtic suec Ivar Bendixson el 1901 i posteriorment refinat pel matemàtic francès Henri Dulac el 1933 utilitzant el teorema de Green.

Demostració

Utilitzant la prova per contradicció i sense perdre la generalitat, fem que hi hagi una funció $\varphi (x,y)$ tal que existeixi una funció tal que

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0$

a la regió simplement connexa $R$. Sigui $C$ una trajectòria tancada del sistema autònom del pla en $R$. Fem que $D$ es trobi a l'interior de $C$. Llavors pel teorema de Green,

${\begin{aligned}&\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\oint _{C}\left(-\varphi g\,dx+\varphi f\,dy\right)\\[6pt]={}&\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}\,dx+{\dot {x}}\,dy\right).\end{aligned}}$

A causa del signe constant, la integral esquerra de la línia anterior ha d'avaluar un nombre positiu. Però al llarg de $C$, $dx={\dot {x}}\,dt$ i $dy={\dot {y}}\,dt$, l'integrand s'anul·la (és de fet és 0 a tot arreu). Això és una contradicció, de manera que no pot haver-hi aquesta trajectòria tancada $C$; la solució periòdica no existeix i es demostra el teorema.

Bibliografia

• Cappell, S.E; Shaneson, J.L «Non-linear similarity» (en anglès). Ann. of Math, 113, 1981.
• Kuiper, N.H «The topology of the solutions of a linear differential equation on» (en anglès). Proc. Internat. Congress on Manifolds [Tokyo], 1973.
• Kuiper, N.H; Robbin, J.W «Topological classification of linear endomorphisms» (en anglès). Inv. Math., 19, 1973.

Vegeu també

• Teorema de Poincaré-Bendixson