Teorema de Christoffel-Darboux

En matemàtiques, el teorema de Christoffel-Darboux és una identitat per a una seqüència de polinomis ortogonals, introduïts per Christoffel (1858) i Darboux (1878). El teorema diu:

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}$

on f_j(x) és el j-èsim terme d'un conjunt de polinomis ortogonals de norma quadrada h_j i coeficient principal k_j.

També hi ha una «forma confluent» d'aquesta identitat:

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].$

Bibliografia

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan. Special functions (en anglès). 71. Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6. 
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Dover Publications, Inc., New York, 1972, p. 785, Eq. 22.12.1. 
• Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Cambridge University Press, 2010, p. 438, Eqs. 18.2.12 i 18.2.13. ISBN 978-0-521-14063-8. 

Vegeu també

• Desigualtat de Turán
• Teorema de Sturm