Teorema de Desargues per a feixos de quàdriques

El teorema de Desargues per feixos de quàdriques, o teorema d'involució de Girard Desargues, és un resultat important en el camp de la geometria projectiva.

Enunciat

Sigui ${\mathcal {F}}$ un feix de quàdriques de l'espai projectiu $\mathbb {P} ^{n}$ i sigui ${\mathcal {l}}\subset \mathbb {P} ^{n}$ una recta que no conté cap punt base (real o imaginari) de ${\mathcal {F}}$. Aleshores, les quàdriques de ${\mathcal {F}}$ intersecten sobre ${\mathcal {l}}$ en parelles de punts (reals o imaginàries) que corresponen a una involució de ${\mathcal {l}}$.

Cas en el pla projectiu

Siguin $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ quatre punts en el pla projectiu $\mathbb {P} ^{2}$ tals que no tres d'ells són colinears. Sigui ${\mathcal {F}}$ un feix de còniques tallant aquests quatre punts. Aleshores, per cada recta ${\mathcal {l}}$ que no talli cap d'aquests quatre punts, cada cònica de ${\mathcal {F}}$, si interseca ${\mathcal {l}}$, ho farà en un parell de punts que són conjugats sota una involució en ${\mathcal {l}}$.