Involució

Involució

Una involució és una aplicació $f:A\rightarrow A$ tal que és igual a la seva pròpia inversa, i per tant dues aplicacions successives de la funció equivalen a la funció identitat: $(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)=Id(x)=x$, on $x\in A$.

El concepte és extensible a lleis de composició binàries. Sigui $(C,*)$ un grupoide o magma unitari, amb l'element neutre denotat per e. Direm que un element $x:C$ és involutiu si $x*x=e$. La llei de composició interna $*:C\times C\rightarrow C$ és involutiva per l'esquerra si té un únic element neutre per l'esquerra i tots els elements de C són involutius: $\exists _{1}e:C\bullet \forall x:C\bullet (e*x=x)\land (x*x=e)$. De forma similar definim una llei involutiva per la dreta: $\exists _{1}e:C\bullet \forall x:C\bullet (x*e=x)\land (x*x=e)$. Una operació és simplement involutiva si és involutiva per la dreta i per l'esquerra, és a dir, que el seu element neutre és una unitat bilateral.

De forma equivalent, podem dir que una llei és involutiva (per l'esquerra, per la dreta o bilateral), si i només si, és unitària (per l'esquerra, per la dreta o bilateral, respectivament) i devolutiva, i l'element neutre és igual a l'element devolutiu.

Bibliografia

• Todd A. Ell (2007), "Quaternion involutions and anti-involutions", Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143, DOI 10.1016/j.camwa.2006.10.029.