Teorema de Meyers-Serrin

En anàlisi funcional, el teorema de Meyers-Serrin consisteix en l'equivalència de dues definicions diferents dels espais de Sóbolev. El seu enunciat és

$W^{m,p}(\Omega )=H^{m,p}(\Omega )$ ·

Definicions

Les notacions són les que s'usen en l'article espai de Sóbolev.

Sigui Ω un conjunt obert qualsevol (no buit) de $\mathbb {R} ^{n}$, dos conceptes que s'utilitzen sovint en la teoria de les equacions diferencials en derivades parcials i en el càlcul de variacions són els espais H i els espais W.

Més precisament, si $m$ és un nombre natural, $p$ és un nombre real tal que $1\leq p<\infty$ i $\alpha$ és un multi-índex, llavors

• $W^{m,p}$ és l'espai de Sóbolev:

$\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega );D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega ),\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}$

proveït de la norma:

$\|u\|_{W^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$

on $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ en el sentit de les distribucions i

$\|.\|_{\mathrm {L} ^{p}}$ designa la norma de l'espai de Lebesgue $L^{p}(\Omega )$.

• '$H^{m,p}(\Omega )$ és l'adherència dins de $W^{m,p}(\Omega )$ de $C^{\infty }(\Omega )\cap W^{m,p}(\Omega )$.

$\{u\in C^{\infty }(\Omega );\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}$

amb

$\|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$

on $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ en el sentit clàssic ($u\in C^{\infty }(\Omega )$).

Observació

Abans de la publicació del teorema, la igualtat H = W era demostrada per certs conjunts oberts Ω (que satisfessin certes propietats de regularitat).