Teorema de Rolle

En càlcul, el teorema de Rolle estableix que

Si:

• f: [a, b] → ℝ és una funció contínua en un interval tancat [a,b]
• f és derivable en l'interval obert (a,b)
• f(a) = f(b)

Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que

f' (c) = 0.

Gràfic per exemplificar el teorema

Gràficament, això significa que si una corba regular surt i arriba per la mateixa altura, sempre existeix algun punt entre ells on la tangent és horitzontal.

Observeu que totes les assumpcions són necessàries. Per exemple, si f(x) = |x|, es té que f(-1) = f(+1), però no hi ha cap x entre -1 i +1 amb f ' (x) = 0. Això és perquè tot i que la funció és contínua, no és derivable en (-1,1).

El teorema va ser enunciat per primera vegada per Michel Rolle, publicat el 1691.

El teorema de Rolle s'utilitza, entre altres coses, per demostrar el teorema del valor mitjà de Cauchy.

Demostració

Sigui f: [a, b] → ℝ, una funció contínua en [a,b] tal que f(a) = f(b). Pel teorema de Weierstrass, la funció té un màxim i un mínim absoluts en l'interval [a, b]. Es diferencien diverses situacions:

• Si tant el màxim com el mínim absoluts de f coincideixen amb f(a) = f(b), llavors f és constant en [a, b] i així, f ' (x) = 0 en tot punt de l'interval (a, b).
• Si la funció assoleix un màxim en un punt x de (a, b), caldrà estudiar les derivades laterals de x de manera separada:

• Per una y < x de l'interval (a,b), com que x és un màxim, el quocient incremental (f(x) − f(y)) / (x − y) és no-negatiu. Això segueix sent vàlid a mesura que es fa tendir y a x, de manera en el límit quan y→x⁻ també és no-negatiu. Observeu que aquest límit existeix ja que f és diferenciable en tot l'interval (a,b).
• Per una y > x de l'interval (a,b), (f(x) − f(y)) / (x − y) és no-positiu. Així en el límit quan y→x⁺ és també no-positiu.

Finalment, com que f és derivable en x, ambdós límits han d'ésser iguals, de manera que han de valer 0. Això implica que f ' (x) = 0.

• Si la funció assoleix un mínim en un punt x de (a,b), s'arriba al fet que f ' (x) = 0 de forma anàloga que en el cas anterior.

Generalització

El teorema normalment és enunciat de la mateixa manera que apareix en l'encapçalament, però en realitat segueix sent vàlid sota les següents condicions una mica menys restrictives:

Si:

• f: [a, b] → ℝ és una funció contínua en un interval tancat [a,b]
• Per a tot x en (a,b) el límit $\lim _{h\to 0}(f(x+h)-f(x))/h$ existeix o és igual a ±∞.
• f(a) = f(b)

Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que

f' (c) = 0.

Vegeu també

• Teorema de Bolzano
• Teorema del valor intermedi
• Teorema de Weierstrass
• Teorema del valor mitjà
• Teorema del valor mitjà de Cauchy
• Corba de Laffer

Enllaços externs

• Teoremes de Rolle i del valor mitjà (anglès)