Vés al contingut

Teorema de Siegel–Walfisz

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En teoria analítica de nombres, el teorema de Siegel–Walfisz va ser derivat per Arnold Walfisz com a aplicació del teorema de Carl Ludwig Siegel en nombres primers en una progressió aritmètica.[1]

Enunciat del teorema de Siegel–Walfisz

[modifica]

Es defineix

on denota la funció de von Mangoldt i φ és la funció φ d'Euler.

El teorema expressa que, donat un nombre real qualsevol N, existeix una constant positiva CN que depèn únicament de N tal que

sempre que (a, q) = 1 i

La constant CN no és efectiva computacionalment perquè el teorema Siegel és inefectiu.

Del teorema es pot deduir la següent forma del teorema dels nombres primers per a progressions aritmètiques: si, per (a,q)=1, mitjançant denotem el nombre de primers menor o iguals que x que són congruents amb a mod q, llavors

on N, a, q, CN i φ són definits com en el teorema, i Li denota la integral logarítmica desplaçada.

Referències

[modifica]
  1. Walfisz, Arnold «Zur additiven Zahlentheorie. II». Mathematische Zeitschrift, 40, 1, 1936, pàg. 592–607. DOI: 10.1007/BF01218882. (en alemán)