Teorema de la integral de Cauchy

No s'ha de confondre amb Fórmula de la integral de Cauchy o Fórmula de Cauchy per a la integració repetida.

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat

Si $f(z)$ és analítica en un domini simplement connex $D$ i la seva derivada és contínua en $D$, llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en $D$ es té:

$\oint _{D}f(z)dz=0\,$

Extensió

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de $f$ fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

• El teorema segueix essent vàlid quan el contorn $C$ no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
• Sigui $C$ un contorn simple tancat, i siguin $C_{j}$ (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de $C$, tals que les regions interiors a cada $C_{j}$ no tinguin punts en comú. Sigui $R$ la regió tancada formada per tots els punts dins de $C$, llevat dels punts interiors a cada $C_{j}$. Denotem per $F$ tota la frontera orientada de $R$ formada per $C$ i tots els contorns $C_{j}$, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de $R$ quedin a l'esquerra de $F$. Llavors, si $f$ és analítica en tot $R$, tenim que:

$\oint _{F}f(z)dz=0\,$

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui $f(z)$ analítica sobre $C$, essent $z$ un contorn tancat simple i a l'interior de $C$. Si s'agafa un punt interior "$z_{0}$" de $C$, es compleix que:

$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if(z_{0})$

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també

• Anàlisi complexa
• Fórmula de la integral de Cauchy

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Cauchy integral theorem. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Cauchy Integral Theorem» a MathWorld (en anglès).