Teorema de representació de Riesz

Existeixen diversos teoremes dins de l'anàlisi funcional coneguts com el Teorema de representació de Riesz.

El teorema de representació d'espais de Hilbert

Aquest teorema estableix una connexió important entre un espai de Hilbert i el seu espai dual: si el cos de la base són els nombres reals, els dos son isomètricament isomorfs; si el cos de la base son nombres complexos, els dos son isomètricament anti-isomorfs.

Sigui $H$ un espaci de Hilbert, i $H'$ el seu espai dual, consistent en el conjunt de totes les funcions lineals contínues d'$H$ en el cos base R o C. Si x és un element d'$H$, llavors φ_x està definit per

$\phi _{x}(y)=\langle y,x\rangle \quad \forall y\in H$

és un element d'$H'$. On $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ és un producte intern d'$H$. El teorema de representació de Riesz estableix que cada element d'$H'$ pot ser inscrit unívocament d'aquesta forma:

Teorema. La funció

$\Phi :H\rightarrow H',\quad \Phi (x)=\phi _{x}$

és un (anti-) isomorfisme isomètric, significant que:

• Φ és bijectiu.
• Les normes d'x i de Φ(x) coincideixen: ||x|| = ||Φ(x)||.
• Φ és additiu: Φ(x₁ + x₂) = Φ(x₁) + Φ(x₂).
• Si el cos base es R, llavors Φ(λ x) = λ Φ(x) per tot nombre real λ.
• Si el cos base es C, llavors Φ(λ x) = λ^* Φ(x) per tot nombre λ complex, on λ^* denota la conjugació complexa d'λ. La funció inversa de Φ pot ser descrita com segueix:

Donat un element φ d'$H'$, el complement ortogonal del nucli de φ és un subespai unidimensional d'$H$. S'agafa un element diferent de zero z al subespai, i el conjunt $x={\overline {\varphi (z)}}\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}$. Llavors ${\displaystyle \Phi (x)}={\displaystyle \varphi }$. El teorema fou provat simultàniament per F. Riesz i M. Fréchet al 1907.

En el tractament matemàtic de la mecànica quàntica, el teorema és la justificació per la notació bra-ket. El teorema mostra que cada bra $\langle \psi |$ té un ket $|\psi \rangle$ corresponent i la correspondència és única.

Bibliografia

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• Paul Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces a PlanetMath