Test de convergència

En matemàtiques, els tests de convergència són mètodes per avaluar la convergència, la convergència condicional, la convergència absoluta, l'interval de convergència o la divergència d'una sèrie infinita.

Llista de tests

• Límit del sumand. Si el límit del sumand és indefinit o diferent de zero, és a dir, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, aleshores la sèrie divergeix. En aquest sentit, les sumes parcials són seqüències de Cauchy si i només si aquest límit existeix i és igual a zero. El test no és concloent si el límit del sumand és zero.
• Criteri de d'Alembert. Suposem que existeix $r$ tal que

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Criteri de l'arrel de Cauchy. Definim r com:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

on "lim sup" denota el límit superior (possiblement ∞; si el límit existeix és el mateix valor).

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Test de la integral (o criteri de la integral de Cauchy). La sèrie es pot comparar a una integral per establir-ne la convergència o divergència. Sigui $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ una funció positiva i monòtona decreixent tal que $f(n)=a_{n}$. Si

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

aleshores la sèrie convergeix. Però si la integral divergeix, aleshores la sèrie també ho fa. Dit d'una altra manera, la sèrie convergeix si i només si la integral convergeix.

• Test de comparació directa. Si la sèrie $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ és absolutament convergent i $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ per a n prou gran, aleshores la sèrie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ convergeix absolutament.
• Test de comparació de límits. Si $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, i el límit $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existeix i és diferent de zero, aleshores $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ convergeix si i només si $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ convergeix.

• Test de condensació de Cauchy. Sigui $\left\{a_{n}\right\}$ una seqüència positiva no creixent. Aleshores la suma $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ convergeix si i només si la suma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ convergeix. A més, si convergeixen, aleshores $A\leq A^{*}\leq 2A$.
• Test d'Abel.Suposant que les següents condicions es compleixen:

1. $\sum a_{n}$ és una sèrie convergent,
2. $b_{n}$ és una successió monòtona i limitada

Llavors $\sum a_{n}b_{n}$ és també convergent. Noti's que aquest criteri és especialment peritnent i útil en el cas que $\sum a_{n}$ sigui una successió convergent no absoluta (llegeixi's condicional). Pel cas en què sigui absolutament convergent, tot i aplicar-se, és gairebé un corol·lari evident.

• Test per a sèries alternades (Criteri de Leibniz)
• Per a alguns tipus concrets de sèries hi ha tests de convergència més especialitzats; per exemple, per a les sèries de Fourier hi ha el test de Dini.

Vegeu també

• Regla de L'Hôpital

Enllaços externs

• Flowchart for choosing convergence test Arxivat 2010-08-08 a Wayback Machine.
• Convergence of infinite series Arxivat 2012-04-19 a Wayback Machine.