Topologia traça

Sigui $(X,{\mathcal {T}})\,$ un espai topològic, i $Y\subset X$. Es defineix la topologia traça (també topologia de subespai o topologia induïda) sobre $Y$, com la topologia menys fina que fa contínua a la injecció canònica: $i:Y\longrightarrow X$, tal que $i(y)=y,\forall y\in Y$. Es denota per ${\mathcal {T}}|_{Y}$, i es prova que ${\mathcal {T}}|_{Y}=\{Y\cap A:A\in {\mathcal {T}}\}$. A més a més, si l'aplicació $i:Y\hookrightarrow X$ és oberta, es diu que $Y$ és un subespai obert, i que $Y$ és un subespai tancat si $i:Y\hookrightarrow X$ és tancada.

Exemples

• La topologia traça de $\mathbb {N}$ com a subespai de $\mathbb {R}$ amb la topologia ordinària és la topologia discreta.

Propietats

Propietats de la topologia traça sobre un subespai $Y\subseteq X$:

• Un conjunt $U'\subseteq Y$ és obert en la topologia ${\mathcal {T}}|_{Y}$ si, i només si, existeix un obert $U\in {\mathcal {T}}$ tal que $U'=Y\cap U$.
• Un conjunt $U'\subseteq Y$ és tancat en la topologia ${\mathcal {T}}|_{Y}$ si, i només si, existeix un tancat $U$ de $X$ tal que $U'=Y\cap U$.
• Si $B\subseteq Y\subseteq X$, llavors ${\mathcal {T}}|_{B}=({\mathcal {T}}|_{Y})|_{B}$.
• Si $Y$ és un subespai obert de $X$, un conjunt $U'\subseteq Y$ és obert en $Y$ si, i només si, és obert en $X$.
• Si $Y$ és un subespai tancat de $X$, un conjunt $U'\subseteq Y$ és tancat en $Y$ si, i només si, és tancat en $X$.

Propietats hereditàries

Una propietat topològica ${\mathcal {P}}$ es diu que és hereditària si els subespais d'un espai topològic que cumpleix ${\mathcal {P}}$ també cumpleixen ${\mathcal {P}}$.

Exemples de propietats que són hereditàries:

• Els axiomes de separació T₀, T₁ i T₂ (Hausdorff).
• El primer i segon axioma de numerabilitat.
• Ser metritzable.

La compacitat i la propietat de ser normal són exemples de propietats que no són hereditàries. Els subespais oberts hereden la separabilitat i els subespais tancats hereden la propietat de ser de Lindelöf.

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Enllaços externs

• The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (anglès)
• Exemples de subespais en Topologia induïda (subespai) (castellà)