Transformada de Fourier de senyal discret
La Transformada de Fourier de senyal discret (DTFT, acrònim anglès de Discret Time Fourier Transform) és la transformada de Fourier aplicada a un senyal discret creat a partir s'un senyal continu. Després d'efectuar la transformada de Fourier s'obté una funció en la freqüència que és un sumatori periòdic de la transformada de Fourier del senyal continu original.[1][2] Aquesta transformada de Fourier es pot realitzar amb DFT (Discret Fourier Transform) de forma ràpida. La transformada inversa DTFT també és viable.
Definició formal
[modifica]Sigui un senyal continu en funcií del temps i la seva versió discretitzada per a tota els nombres enters . La variable és la freqüència.
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X_{2\pi }(w)=\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]e^{-iwn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72974157313b64ca2303ceda8430540729810cd)
Propietats
[modifica]En la següent taula es mostres operacions matemàtiques aplicades en el domini temporal i els seus corresponents efectes en el pla freqüencial:[3]
- El símbol * és la convolució discreta de 2 seqüències
- x[n]* és el complex conjugat de x[n]
| Propietat | Domini temporal
|
Domini freqüencial
|
Notes |
|---|---|---|---|
| Lenealitat | a.+b. | ||
| Desplaçament en el temps | enter k | ||
| Desplaçament en la freqüència | real a | ||
| Inversió temporal | |||
| Conjugació temporal | |||
| Inversió i conjugació temporal | |||
| Derivada de la freqüència | |||
| Integral de la freqüència | |||
| Multiplicació temporal | |||
| Convolució | |||
| Correlació | |||
| Teorema de Parseval |
![{\displaystyle x[n-k]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bfc2b24164de1192ea1e17a90312a3e045911e)
![{\displaystyle x[n]e^{ian}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f540caf14c269c45b6b5d32ceb555ce8841bae)
![{\displaystyle x[-n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61499a6c6544d338cf6ac340b27ad734c4daba05)
![{\displaystyle x[n]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49908fe3dfbd435e478d58b4c10c47e3a609c96)
![{\displaystyle x[-n]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb208f439fc83acd99c3db8d63304b65890993c4)
![{\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2eb71af662480e119b9bd16ff2e4c49151ab4b9)
![{\displaystyle {\frac {i}{n}}x[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384ec2e6f1fb841111d00c800196000a4d406964)
![{\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e208ac041ff192194184d3c708d7789f9c9178)
![{\displaystyle x[n]*y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3b1fd5ad225be66dfa022f43a3333b08fb3fb7)
![{\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d82c9624d4b16650c5652c000d0bb459f794c6)
![{\displaystyle E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y^{*}[n]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4441b0f623efac9e5784561b56bb587551ffd43d)
Vegeu també
[modifica]Referències
[modifica]- ↑ «The Discrete Time Fourier Transform» (en anglès). www.dspguide.com. [Consulta: 3 març 2017].
- ↑ «Discrete-time Fourier transform» (en anglès). [Consulta: 3 març 2017].
- ↑ «DTFT» (en anglès). [Consulta: 3 març 2017].