Transformada de Riesz

En la teoria matemàtica de l'anàlisi harmònica, les transformades de Riesz són una família de generalitzacions de la transformada d'Hilbert a espais euclidians de dimensió d > 1. Són un tipus d'operador integral singular, és a dir, que estan donats per una convolució d'una funció amb una altra funció que té una singularitat a l'origen. Concretament, les transformades de Riesz d'una funció de valor complex ƒ sobre R^d es defineixen per

$R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt$

per j = 1,2,... , d. La constant c _d és una normalització dimensional donada per

$c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.$

on ω_{d − 1} és el volum de la unitat ( d − 1)-bola. El límit s'escriu de diverses maneres, sovint com a valor principal o com una circumvolució amb la distribució temperada

$K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.$

Les transformades de Riesz sorgeixen en l'estudi de les propietats de diferenciabilitat dels potencials harmònics en la teoria de potencials i l'anàlisi harmònic. En particular, sorgeixen en la prova de la desigualtat de Calderón-Zygmund (Gilbarg & Trudinger 1983, §9.4)

Propietats multiplicadores

Les transformades de Riesz estan donades per un multiplicador de Fourier. De fet, la transformada de Fourier de R_jƒ ve donada per

${\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).$

En aquesta forma, les transformades de Riesz es veuen com a generalitzacions de la transformada d'Hilbert. El nucli és una distribució que és homogènia de grau zero. Una conseqüència particular d'aquesta darrera observació és que la transformada de Riesz defineix un operador lineal acotat des de L²(R^d) fins a si mateix.

Aquesta propietat d'homogeneïtat també es pot afirmar més directament sense l'ajuda de la transformada de Fourier. Si σ_s és la dilatació de R^d per l'escalar s, això és σ _s x = sx, aleshores σ _s defineix una acció sobre funcions mitjançant pullback:

$\sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.$

Les transformacions de Riesz es desplacen amb σ_s :

$\sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).$

De la mateixa manera, el Riesz transforma els desplaçaments diaris amb traduccions. Sigui τ_a la translació sobre R^d al llarg del vector a; és a dir, τ_a(x) = x + a. Aleshores

$\tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).$

Relació amb el laplacià

De manera una mica imprecisa, el Riesz es transforma de $f$ Doneu les primeres derivades parcials d'una solució de l'equació

${(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},$

on Δ és el laplacià. Així la transformació de Riesz de $f$ es pot escriure com:

${Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}$

En particular, també s'hauria de tenir

$R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},$

de manera que les transformacions de Riesz donen una manera de recuperar informació sobre tot el hessià d'una funció a partir del coneixement només del seu laplacià.