Trident de Newton

Trident d'equació y = x²+1/x

El trident de Newton és el nom donat a una corba estudiada per Isaac Newton. Se la designa també de vegades com paràbola de Descartes - encara que no sigui una paràbola.

Classificació de les cúbiques

En un estudi fet el 1676 però publicat el 1704, Newton intenta classificar totes les corbes cúbiques, és a dir les corbes planes l'equació de les quals és de la forma:

$ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,$

N'enumera 72 tipus que pot endreçar en quatre classes per canvis apropiats:

1. les corbes d'equació $xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
2. les corbes d'equació $xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
3. les corbes d'equació $y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
4. les corbes d'equació $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Els tridents de Newton són les corbes de tipus (2)

Equació cartesiana

Els tridents de Newton tenen per equació cartesiana canònica:

$xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

on a i d són no nuls.

Anàlisi

Domini de definició

Els tridents de Newton no estan definits a 0. El seu dominit de definició és per tant:

$D_{f}=\mathbb {R} ^{*}$

Derivada

Són funcions racionals. Són per tant derivables a $D_{f}$, i la seva derivada és:

$f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}$

Límits

Límit a l'infinit

A l'infinit, els tridents de Newton tendeixen o bé cap a $+\infty$, o bé cap a $-\infty$.

Si a>0 llavors $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$.

Si a<0 llavors $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty$.

Límits a 0

A 0, els tridents de Newton tendeixen cap a $+\infty$ o $-\infty$.

Si d>0 llavors $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ i $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$.

Si d<0 llavors $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ i $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$.

Asímptotes

Tenen per a asímptotes la paràbola d'equació

$y=ax^{2}+bx+c$

així com la hipèrbole d'equació

$y={\frac {d}{x}}$

Intersecció amb l'eix d'abscisses

Es compten entre un i tres punts d'intersecció entre un trident de Newton i l'eix d'abscisses segons el valor dels coeficients a, b, c, d.

Relació amb el foli de Descartes

El canvi de variable

$x={\frac {X}{Y}}$ et $y={\frac {1}{Y}}$

Porta a una equació de la forma:

$XY=aX^{3}+bX^{2}Y+cXY^{2}+dY^{3}\,$

En particular, la corba d'equació $y=x^{2}+{\frac {1}{x}}$ es transforma en un foli de Descartes

Vegeu també

• Isaac Newton
• Funció matemàtica

Enllaços externs

• (anglès) Llista de corbes famoses
• (anglès) Un applet Java de simulació de Tridents
• (francès) El trident de Newton (explicacions)
• (anglès) Pàgina sobre els tridents
• (anglès) Comparació entre els tridents de Newton i els de Descartes