Usuari:Brill/proves/Baricentre

Baricentre d'un triangle

S'anomena baricentre el punt on es troben les tres mitjanes d'un triangle. El baricentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i l'ortocentre del triangle.

Existència

Siguin $BM_{b}$ i $CM_{c}$ dues mitjanes del triangle $\triangle ABC$ que es tallen en el punt $G$. Cal provar que el segment $AX$ que passa pel punt $G$ és la tercera mitjana del triangle o, el que és equivalent, que el punt $X$ és el punt mitjà del costat $BC$ del triangle.

• Com que els punts $M_{c}$ i $M_{b}$ són els punts mitjans respectius dels costats $AB$ i $AC$ del triangle, el segment $M_{c}M_{b}$ és paral·lel al costat $BC$ i, per tant, els triangles $\triangle BCM_{c}$ i $\triangle BCM_{b}$, que comparteixen la base $BC$ tenen altures iguals: $M_{c}I_{c}=M_{b}I_{b}$. Per tant,

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCM_{c})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCM_{b})$

• Aleshores,

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGM_{c})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCM_{c})-{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCG)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCM_{b})-{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BCG)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)$

• Però els triangles $\triangle BGM_{c}$ i $\triangle M_{c}GA$ tenen bases iguals, $BM_{c}=M_{c}A$ i comparteixen altura, de la mateixa manera que els triangles $\triangle M_{b}GC$ i $\triangle AGM_{b}$ també tenen bases iguals, $CM_{b}=M_{b}A$ i comparteixen altura, i, en conseqüència,

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{c}GA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGM_{c})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGM_{b})$

• Ara bé, el segment $GA$ és una base compartida dels triangles d'àrees iguals $\triangle M_{c}GA$ i $\triangle AGM_{b}$, cosa que fa que les altures respectives relatives a aquesta base comuna siguin iguals:

$M_{c}J_{c}=M_{b}J_{b}$

• Però els triangles $\triangle M_{c}HA$ i $\triangle AHM_{b}$ tenen la base comuna $HA$ i altures respectives iguals: $M_{c}J_{c}=M_{b}J_{b}$. Per tant,

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{c}HA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AHM_{b})$

• Aquests dos triangles de la mateixa àrea, $\triangle M_{c}HA$ i $\triangle AHM_{b}$, amb bases sobre el segment $M_{c}M_{b}$, tenen la mateixa altura en el vèrtex compartit $A$. Aleshores, les bases han de ser iguals, $M_{c}H=HM_{b}$, i el punt $H$ és el punt mitjà del segment $M_{c}M_{b}$.
• Finalment, les semblances de triangles $\triangle M_{c}HA\sim \triangle BXA$ i $\triangle AHM_{b}\sim \triangle AXC$ de raó $1{:}2$ fan que el punt $X$ sigui el punt mitjà del costat $BC$ del triangle $\triangle ABC$ i el segment $AX$ en sigui la tercera mitjana.

Propietats

Divisió en triangles de la mateixa àrea

Les mitjanes d'un triangle el divideixen en sis triangles de la mateixa àrea.

En efecte: Ara que ja ha estat demostrat que el segment $AX$ és una mitjana del triangle $\triangle ABC$, que el punt $G$ n'és el baricentre i que el punt $X$ és el punt mitjà del costat $BC$, podem reanomenar aquest punt com a $M_{a}=X$. També, mitjançant la consideració de les mitjanes $BM_{b}$ i $CM_{c}$, ha estat establerta la igualtat de les àrees dels quatre triangles $\triangle BGM_{c}$, $\triangle M_{c}GA$, $\triangle AGM_{b}$ i $\triangle M_{b}GC$:

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGM_{c})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{c}GA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGM_{b})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)$

que implica la dels triangles $\triangle BGA$ i $\triangle AGC$:

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGM_{c})+{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{c}GA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGM_{b})+{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGC)$

Aleshores, els mateixos raonaments, però ara amb la consideració de les mitjanes $AM_{a}$ i $BM_{b}$ porten a ${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGM_{b})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle CGM_{a})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{a}GB)$

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGC)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle CGB)$

i, finalment, tot plegat dóna:

${\begin{array}{rcl}{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGC)&=&{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGA)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle CGB)={\dfrac {1}{3}}\,{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle ABC)\\{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AM_{c}G)&=&{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BGM_{c})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle BM_{a}G)=\\&=&{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle CGM_{a})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle M_{b}GC)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle AGM_{b})={\dfrac {1}{6}}\,{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle ABC)\\\end{array}}$

amb el triangle $\triangle ABC$ dividit en sis triangles de la mateixa àrea.

Divisió de les mitjanes pel baricentre

El baricentre divideix cada mitjana en dos segments en la proporció $2{:}1$; el segment del vèrtex al baricentre fa el doble del segment del baricentre a la base del triangle.

Com que ${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle ABC)=3{\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle GBC)$, i ambdós triangles comparteixen la mateixa base $BC$, les altures respectives $AK$ i $GL$ estan en la proporció $3{:}1$ i són paral·leles. Aleshores, els triangles rectangles $\triangle AKM_{a}$ i $\triangle GLM_{a}$ són triangles semblants de raó de semblança $3{:}1$ i, per tant, les respectives hipotenuses també estan en raó de $3{:}1$. El mateix raonament val per a les altres dues mitjanes i, en definitiva, resulta:

$AG=2GM_{a}\,,\qquad BG=2GM_{b}\,,\qquad CG=2GM_{c}$

Segments bisectors de l'àrea d'un triangle

Les mitjanes d'un triangle són els únics segments que passen pel seu baricentre que el divideixen en dos triangles de la mateixa àrea. Qualsevol altra recta que passi pel baricentre divideix el triangle en dos polígons (un d'ells un triangle) d'àrees diferents.

Considerem el segment $QR$ que passa pel baricentre $G$. Suposem que $QR$ divideix el triangle $\triangle ABC$ en dos polígons, $BCQR$ i $\triangle ARQ$, de la mateixa àrea. Com que els triangles $\triangle BCM_{b}$ i $\triangle BM_{b}A$ tenen bases iguals, $CM_{b}=M_{b}A$ i la mateixa altura respecte d'aquestes bases, tenen la mateixa àrea i, per tal que ${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(BCQR)={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle ARQ)$, ha de ser

${\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle GQM_{b})={\grave {\text{A}}}{\text{rea}}(\triangle GRB)$

Considerem ara les altures respectives, $QV$ i $RW$. Com que $BM_{b}$ és una mitjana del triangle $\triangle ABC$ i el punt $G$ n'és el baricentre, els segments $GM_{b}$ i $GB$, fan $2GM_{b}=GB$ i, com que són les bases dels triangles de igual àrea $\triangle GQM_{b}$ i $\triangle GRB$, ha de ser

$QV=2RW$

Els triangles rectangles $\triangle QVG$ i $\triangle RWG$ tenen angles oposats pel vèrtex i, per tant, iguals en el vèrtex comú $G$ i, en conseqüència, són triangles semblants amb

${\dfrac {GR}{GQ}}={\dfrac {RW}{QV}}={\dfrac {1}{2}}$

Però $CM_{c}$ és una altra mitjana del triangle $\triangle ABC$ amb baricentre a $G$. Aleshores, els segments $GM_{c}$ i $GC$, fan $2GM_{c}=GC$. Per tant, els triangles $\triangle CQG$ i $\triangle M_{c}RG$, que tenen angles iguals al vèrtex $G$ i dues parelles de costats proporcionals, ${\dfrac {GR}{GQ}}={\dfrac {GM_{c}}{GC}}={\dfrac {1}{2}}$

són triangles semblants, amb angles homòlegs ${\widehat {GRM_{c}}}$ i ${\widehat {GQC}}$. Però això és impossible, perquè implica que les rectes $AB$ i $AC$ són paral·leles. En conseqüència, els triangles $\triangle GQM_{b}$ i $\triangle GRB$ no poden tenir la mateix àrea i el segment $RQ$ no pot dividir el triangle $\triangle ABC$ en dos polígons iguals.

Les mitjanes com a cevianes

Les mitjanes d'un triangle són línies cevianes. Com que el punt en que divideixen els respectius costats n'és el punt mitjà, hi ha aquestes proporcions:

${\dfrac {AM_{c}}{M_{c}B}}=1\,,\qquad {\dfrac {BM_{a}}{M_{a}C}}=1\,,\qquad {\dfrac {CM_{b}}{M_{b}A}}=1$

Aleshores,

${\dfrac {AM_{c}}{M_{c}B}}\cdot {\dfrac {BM_{a}}{M_{a}C}}\cdot {\dfrac {CM_{b}}{M_{b}A}}=1\cdot 1\cdot 1=1$

i, segons el teorema de Ceva, les tres mitjanes es tallen en un punt: el baricentre del triangle.

Coordenades del baricentre

Les coordenades cartesianes del baricentre són la mitjana aritmètica de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són $A=(x_{a},y_{a})$, $B=(x_{b},y_{b})$, i $C=(x_{c},y_{c})$ i els vectors posició respectius són ${\vec {A}}={x_{a} \choose y_{a}}$, ${\vec {B}}={x_{b} \choose y_{b}}$ i ${\vec {C}}={x_{c} \choose y_{c}}$, llavors el vector posició del baricentre és

${\vec {G}}={\dfrac {1}{3}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}\right)$

i el baricentre $G$ és a

$G=\left({\dfrac {x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3}},{\frac {y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3}}\right)$

En efecte:

${\begin{array}{rcl}{\vec {G}}&=&{\vec {A}}+{\overrightarrow {AG}}={\vec {A}}+{\dfrac {2}{3}}\,{\overrightarrow {AM_{a}}}={\vec {A}}+{\dfrac {2}{3}}\,\left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BM_{a}}}\right)={\vec {A}}+{\dfrac {2}{3}}\,\left({\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {1}{2}}\,{\overrightarrow {BC}}\right)=\\&=&{\vec {A}}+{\dfrac {2}{3}}\,\left({\vec {B}}-{\vec {A}}+{\dfrac {1}{2}}\,\left({\vec {C}}-{\vec {B}}\right)\right)={\dfrac {1}{3}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {1}{3}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {1}{3}}\,{\vec {C}}={\dfrac {1}{3}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}\right)\\\end{array}}$