Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

Equacions generals

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$

Còniques amb centre

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0$

aleshores, el punt $(x,y)$ és de la cònica si, i només si, ho és el punt $(-x,-y)$ i la cònica té simetria central, amb centre al punt $(0,0)$. Per tant, si la cònica té centre al punt $(\alpha ,\beta )$, ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

${\begin{alignedat}{1}x&=x'-\alpha \\y&=y'-\beta \end{alignedat}}$

que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

$A(x'-\alpha )^{2}+2B(x'-\alpha )(y'-\beta )+C(y'-\beta )^{2}+2D(x'-\alpha )+2E(y'-\beta )+F=0$

que, després d'operar dóna:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2(A\alpha +B\beta -D)x'-2(B\alpha +C\beta -E)y'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

El punt $(\alpha ,\beta )$ és, doncs, la solució del sistema lineal

$\left\{{\begin{alignedat}{1}A\alpha +B\beta &=D\\B\alpha +C\beta &=E\end{alignedat}}\right.$

amb solució única si

$\left|{\begin{array}{cc}A&B\\B&C\end{array}}\right|=AC-B^{2}\neq 0$

Amb discriminant no nul

La quantitat $\Delta =AC-B^{2}$ es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, $\Delta =AC-B^{2}\neq 0$ el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem $A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=F'$ l'equació quedarà així:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0$

Amb discriminant nul

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$ i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$, algun dels coeficients $A$ o $C$ no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria $B$ i l'equació es reduiria a $2Dx+2Ey+F=0$, és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser

$\left|{\begin{array}{cc}A&D\\B&E\end{array}}\right|=AE-BD=\left|{\begin{array}{cc}B&D\\C&E\end{array}}\right|=BE-CD=0$

Per a $A\neq 0$, $C={\dfrac {B^{2}}{A}}$ i l'equació queda

$Ax'^{2}+2Bx'y'+{\dfrac {B^{2}}{A}}y'^{2}+F'=0$

o sigui

$0=A^{2}x'^{2}+2ABx'y'+B^{2}y'^{2}+AF'=\left(Ax'+By'\right)^{2}+AF'$

i, aleshores, si $AF'\leq 0$ tenim la recta $Ax'+By'-{\sqrt {-AF'}}=0$ i, si $AF'>0$ no hi ha cònica real. Per a $C\neq 0$, $A={\dfrac {B^{2}}{C}}$ i l'equació queda

$0=B^{2}x'^{2}+2BCx'y'+C^{2}y'^{2}+AF'=\left(Bx'+Cy'\right)^{2}+CF'$

amb els mateixos resultats segons el signe de $CF'>0$.

Posició canònica

Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0$

és $B=0$, aleshores, si el punt $(x',y')$ és de la cònica, també ho són els punts $(x',-y')$, $(-x',y')$ i $(-x',-y')$ i els eixos de coordenades són eixos de simetria de la cònica. Ara veurem com amb una rotació de les coordenades amb angle $\varphi$,

${\begin{alignedat}{1}x'&=X\cos \varphi -Y\sin \varphi \\y'&=X\sin \varphi +Y\cos \varphi \end{alignedat}}$

podem aconseguis una equació del tipus

$A'X^{2}+C'Y^{2}+F''=0$

Ha de ser:

$A(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )^{2}+2B(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )+C(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )^{2}+F'=0$

que, després d'operar, dóna:

$\left(A\cos ^{2}\varphi +2B\cos \varphi \sin \varphi +C\sin ^{2}\varphi \right)X^{2}+\left(2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi \right)XY+\left(A\sin ^{2}\varphi -2B\cos \varphi \sin \varphi +C\cos ^{2}\varphi \right)Y^{2}+F'=0$

Aleshores cal exigir

$2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi =0$

o sigui,

$2B\cos 2\varphi -(A-C)\sin 2\varphi =0$

és a dir,

${\dfrac {2B}{A-C}}={\dfrac {\sin 2\varphi }{\cos 2\varphi }}=\tan 2\varphi$

i com que

$\tan 2\varphi =\tan(2\varphi +\pi )$

resulten dos valors possibles per a $\varphi$:

$\varphi =\left\{{\begin{alignedat}{1}&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}\\&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}+{\dfrac {\pi }{2}}\end{alignedat}}\right.$

tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades "$x$" i "$y$", o bé sobre els eixos "$y$" i "$x$".

Observem que si $A=C$, l'equació queda

$\left(A\cos ^{2}\varphi +2B\cos \varphi \sin \varphi +A\sin ^{2}\varphi \right)X^{2}+\left(2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)\right)XY+\left(A\sin ^{2}\varphi -2B\cos \varphi \sin \varphi +A\cos ^{2}\varphi \right)Y^{2}+F'=0$

Còniques sense centre

Si la cònica

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$

no té centre és perquè $\Delta =AC-B^{2}=0$.

Casos particulars i vèrtexs

Si $A=0$ o $C=0$, aleshores $B=0$. Els coeficients $A$ i $C$ no poden ser simultàniament zero, perquè, aleshores, l'equació és de grau 1 i és la d'una recta.

${\begin{array}{ll}{\mbox{Si }}A\neq 0,C=0{\mbox{ i }}E\neq 0,{\mbox{ l'equació és: }}Ax^{2}+2Dx+2Ey+F=0&(i)\\{\mbox{Si }}A\neq 0,C=0{\mbox{ i }}E=0,{\mbox{ l'equació és: }}Ax^{2}+2Dx+F=0&(ii)\\{\mbox{Si }}A=0,C\neq 0,{\mbox{ i }}D\neq 0{\mbox{ l'equació és: }}Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0&(iii)\\{\mbox{Si }}A=0,C\neq 0,{\mbox{ i }}D=0{\mbox{ l'equació és: }}Cy^{2}+2Ey+F=0&(iv)\end{array}}$

En els casos $(ii)$ i $(iv)$ es tracta d'equacions de segon grau amb una incògnita amb dues, una, o cap solució si, respectivament, $D^{2}-AF$ o $E^{2}-CF$ és més gran, igual o més petit que zero. La cònica consisteix en dues rectes paral·leles a l'eix "$y$" en el cas $(ii)$, o a l'eix "$x$" en el cas $(iv)$, que poden ser coïncidents o imaginàries, segons el nombre de solucions diferents de l'equació.

En els casos $(i)$ i $(iii)$ una incògnita es pot expressar coma funció polinòmica de segon grau de l'altra incògnita i es tracta, doncs, de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix "$y$" en el cas $(i)$, i amb eix de simetria paral·lel a l'eix "$x$" en el cas $(iii)$.

Si el vèrtex és en el punt $(\alpha ,\beta )$, el canvi de coordenades

${\begin{alignedat}{1}x&=x'+\alpha \\y&=y'+\beta \end{alignedat}}$

portarà aquest vèrtex a l'origen i la nova equació serà

${\begin{array}{ll}{\mbox{Cas }}(i):&A'x'^{2}+2E'y'=0\\{\mbox{Cas }}(iii):&C'y'^{2}+2D'x'=0\\\end{array}}$

Tenim

${\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&0&=A(x'+\alpha )^{2}+2D(x'+\alpha )+2E(y'+\beta )+F=\\&&&=Ax'^{2}+2(A\alpha +D)x'+2Ey'+\left(A\alpha ^{2}+2D\alpha +2E\beta +F\right)\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &0&=C(y'+\beta )^{2}+2D(x'+\alpha )+2E(y'+\beta )+F=\\&&&=Cy'^{2}+2Dx'+2(C\beta +E)y'+\left(C\beta ^{2}+2D\alpha +2E\beta +F\right)\end{alignedat}}$

i ha de ser:

${\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&\alpha &=-{\dfrac {D}{A}},\quad \beta ={\dfrac {D^{2}-AF}{2AE}}\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &\alpha &={\dfrac {E^{2}-CF}{2CD}},\quad \beta =-{\dfrac {E}{C}}\end{alignedat}}$

i, després de la translació, les equacions queden

${\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&Ax'^{2}+2Ey'=0\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &Cy'^{2}+2Dx'=0\end{alignedat}}$

i, en la forma més clàssica,

${\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&x'^{2}=-{\dfrac {2E}{A}}y'=2py',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {E}{A}}\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &y'^{2}=-{\dfrac {2D}{C}}x'=2px',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {D}{C}}\end{alignedat}}$

Es tracta, doncs, de paràboles amb el vèrtex a l'origen de coordenades, amb l'eix "$y$" i l'eix "$x$" respectivament, com a eix de simetria.

Cas general

Estudiem el cas $A\neq 0$, $C\neq 0$ i, conseqüentment, $B\neq 0$. Si multipliquem l'equació per $A$ queda

${\begin{alignedat}{1}0&=A^{2}x^{2}+2ABxy+ACy^{2}+2ADx+2AEy+AF=\\&=A^{2}x^{2}+2ABxy+B^{2}y^{2}+2ADx+2AEy+AF=\\&=\left(Ax+By\right)^{2}+2ADx+2AEy+AF\end{alignedat}}$

Fem ara la mateixa rotació de les coordenades, amb angle $\varphi$, tot intentant fer desaparèixer el terme $2ABxy$,

${\begin{alignedat}{1}x&=x'\cos \varphi -y'\sin \varphi \\y&=x'\sin \varphi +y'\cos \varphi \end{alignedat}}$

Queda:

${\begin{alignedat}{2}&0&\,=\,&\left(A(x'\cos \varphi -y'\sin \varphi )+B(x'\sin \varphi +y'\cos \varphi )\right)^{2}+\\&&&+2AD(x'\cos \varphi -y'\sin \varphi )+2AE(x'\sin \varphi +y'\cos \varphi )+AF=\\&&\,=\,&(A\cos \varphi +B\sin \varphi )^{2}x'^{2}-2(A\cos \varphi +B\sin \varphi )(A\sin \varphi -B\cos \varphi )x'y'+(A\sin \varphi -B\cos \varphi )^{2}y'^{2}+\\&&&+2A(D\cos \varphi +E\sin \varphi )x'-2A(D\sin \varphi -E\cos \varphi )y'+AF\end{alignedat}}$

i ha de ser

$(A\cos \varphi +B\sin \varphi )(A\sin \varphi -B\cos \varphi )=0$

amb dues possibilitats per a la rotació:

$\tan \varphi _{1}=-{\dfrac {A}{B}}\,,\quad \tan \varphi _{2}={\dfrac {B}{A}}$

Observem que, com en cas de les còniques amb centre, $\varphi _{1}-\varphi _{2}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}$.

Però no només hem aconseguit eliminar el termes en $x'y'$, sinó que en dependència de si s'escull l'angle $\varphi _{1}$ o $\varphi _{2}$ per fer la rotació, també s'elimina un dels termes en $x'^{2}$ o $y'^{2}$ respectivament. En cadascun dels casos l'equació queda:

${\begin{array}{ll}{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:(A\sin \varphi _{1}-B\cos \varphi _{1})^{2}y'^{2}+2A(D\cos \varphi _{1}+E\sin \varphi _{1})x'-2A(D\sin \varphi _{1}-E\cos \varphi _{1})y'+AF=0\\{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:(A\cos \varphi _{2}+B\sin \varphi _{2})^{2}x'^{2}+2A(D\cos \varphi _{2}+E\sin \varphi _{2})x'-2A(D\sin \varphi _{2}-E\cos \varphi _{2})y'+AF=0\end{array}}$

o sigui, de la forma

${\begin{array}{ll}{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:C'y'^{2}+2D'x'-2E'y'+F'=0\\{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:A'x'^{2}+2D'x'-2E'y'+F'=0\end{array}}$

Hem aribat, doncs, als casos $(iii)$ i $(i)$ del paràgraf anterior: es tracta de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix "$x$" en el primer cas, i amb eix de simetria paral·lel a l'eix "$x$" en el segon cas que poden traslladar-se fàcilment de manera que el vèrtex estigui a l'origen de coordenades, per obtenir una d'aquestes equacions reduïdes:

${\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:\ &y'^{2}=-{\dfrac {2D'}{C'}}x'=2px',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {D'}{C'}}\\&{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:\ &x'^{2}=-{\dfrac {2E'}{A'}}y'=2py',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {E'}{A'}}\end{alignedat}}$