Usuari:Chiringo Xavielux/proves

La paradoxa de Galileu es una demostració de una de les propietats dels conjunts infinits. El caràcter paradoxal es dona per posar en entredit el principi de que el tot és major que qualsevol de les seves parts.

En el seu últim treball científic, Dos noves ciencies, Galileo Galilei va fer dues afirmacions aparentment contradictories acosta de els nombres enters positius. Primer, alguns nombres tenen la propietat de ser un quadrat perfecte ( això és, el quadrat d’un enter, desde ara trucat simplement quadrat), mentres que altres no la tenen. Per això, el conjunt de nombres, incluin tant els quadrats com als no quadrats, ha de ser mayor que el conjunt dels quadrats . No obstant això, per cada quadrat hi ha exactament un nombre que es la seva arrel quadrada, i per cada nombre hi ha exactament un quadrat. Per tant, no pot haver més d’un tipus que d’altre. Aquest és un dels primers exemples, encara que no es el primer, de demostracio a través de una funció biyectiva.

En els seus cèlebres "Diàlegs" Galileu va arribar a la conclusió que els conceptes de menor, igual i major solo s'aplicaven a conjunts finits, i no tenien sentit aplicats a conjunts infinits. En el segle XIX, Georg Cantor, usant els mateixos mètodes, va demostrar que a pesar que el resultat de Galileu era correcte si s'aplicava als nombres enters, o fins i tot als racionals, la conclusió general no era certa: alguns conjunts infinits són majors que uns altres, en el sentit que no es poden relacionar en una correspondència biunívoca. No obstant això, és notable que Galileu hagi demostrat que el nombre de punts en un segment és el mateix que en un segment una mica major, encara que, per cert, no va arribar a la demostració de Cantor sobre l'existència de diversos infinits ni al concepte de número transfinit. En aquesta època Galileu estava indicant les contradiccions en les paradoxes de Zenó per a obrir camí a la seva teoria matemàtica del moviment.