Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria
D'aquí deduirem la funció de densitat de
.
Demostrarem que la distribució de
és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per
la funció de densitat d'una distribució
i per
la densitat d'una distribució
. També denotarem per
els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre
:
Recordem que la distribució khi quadrat no central
és una mixtura de distribucions
amb pesos
, i tenim
Donada la independència entre
i
, la funció de densitat conjunta de
és
Sigui
la funció característica de
. Per (2) i (1),
Però
és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria
i una variable
independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma
. Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos
. Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable
és
Finalment, s'utilitza que si
és una variable aleatòria amb funció de densitat
i
, aleshores la densitat de
és
Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució
és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component
,
, és la distribució d'una variable aleatòria de la forma
on
és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numeradora amb
graus de llibertat i el denominador amb
; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre
. Cal notar que
no té una distribució
.
Sigui
. Aleshores
té moment d'ordre
si i només si
. En aquest cas,
En particular,
Si
, aleshores
té moment de segon ordre, que val
Prova:
Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de
, (recordem que
i
, independents)
Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la distribució
,
i quan
,
D'altra banda, el moment d'ordre
d'una distribució
és
Per a
, reordenant els termes de la funció de densitat tenim que
Ara a cada integral es fa el canvi
i s'obté una integral del tipus funció beta incompleta.