Usuari:Jordiventura96/proves/Constant de Gauss

En matemàtiques, la constant de Gauss, anotada G, és una constant que es defineix com el nombre invers de la mitjana aritmètico-geomètrica entre 1 i l'arrel de 2.

$G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}\approx 0.8346268\dots .$

Propietats

Valor

El seu valor aproximat és:

$G\approx 0.8346268\dots .$ (successió A014549 a l'OEIS)

i la seva fracció contínua és:

$G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,\dots .]$ (successió A053002 a l'OEIS)

Relació amb d'altres constants

La constant de Gauss pot ser utilitzada en la definició de les constants de la lemniscata, sent la primera:

$L_{1}\;=\;\pi G$

i la segona:

$L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}$

que intervenen en el càlcul de la longitud d'arc d'una lemniscata.

Altres fórmules

Aquesta constant rep el seu del matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss, que va descobrir el 1799 la identitat següent:

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

sigui:

$G={\frac {2}{\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)$

on $B$ és la funció Beta d'Euler, definida com:

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t.$

La constant de Gauss també pot ser expressada mitjançant la funció theta de Jacobi:

$G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })$

Una sèrie ràpidament convergent a la constant de Gauss és la següent:

$G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$

La constant també ve donada pel producte infinit:

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$

També apareix en el càlcul de les integrals definides:

${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx$

$G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}$

Transcendència

La constant de Gauss es pot utilitzar per expressar la funció gamma amb l'argument d'1/4:

$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

I com que π i Γ(1/4) són algebraicament independents (demostrat el 1996 pel matemàtic rus Yuri Nesterenko), amb Γ(1/4) irracional, tenim que la constant de Gauss és transcendental.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Gauss's Constant» a MathWorld (en anglès).
• Seqüències A014549 i A053002 a [[