Usuari:Jordiventura96/proves/Nombre de Kynea

En teoria dels nombres, un nombre de Kynea és un nombre enter positiu de la forma:

$4^{n}+2^{n+1}-1$.

Una forma equivalent és:

$(2^{n}+1)^{2}-2$.

Això vol dir que l'enèssim nombre de Kynea és el resultat de sumar la enèssima potència de 4 amb el nombre de Mersenne d'ordre n+1. Els nombres de Kynea van ser estudiats per primer cop per Cletus Emmanuel, que els va donar el nom d'una nena petita.

La seqüència dels nombres de Kynea comença amb:

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... .

Propietats

Nombres de Kynea
n	Decimal	Binari
1	7	111
2	23	10111
3	79	1001111
4	287	100011111
5	1087	10000111111
6	4223	1000001111111
7	16639	100000011111111
8	66047	10000000111111111
9	263167	1000000001111111111

La representació binària de l'enèssim nombre de Kynea té com a primera xifra un 1 seguit de n-1 zeros consecutius, seguits per n+1 uns consecutius, o expressat algebraicament:

$4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}.$

La representació binària dels primers nombres de Kynea es mostra en la taula de la dreta.

La diferència entre l'enèssim nombre de Kynea i l'enèssim nombre de Carol és la potència de dos d'exponent n+2.

Nombres primers de Kynea

Un nombre primer de Kynea és un nombre de Kynea que és, a la vegada, nombre primer. A partir del 7, amb n=1, cada nombre de Kynea amb n congruent a 1 en mòdul 3 és múltiple de 7. Això descarta bona part dels nombres de Kynea; tot i que de la resta no tots són primers. Els primers nombres primers de Kynea són:

7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407...

A data de 2006, el nombre primer de Kynea més gran que es coneix té com a índex n = 281621 i té un total de 169553 xifres. Va ser descobert pel mateix Cletus Emmanuel el 2005, utilitzant el programa k-Sieve de Phil Carmody i OpenPFGW. Aquest és el 46è nombre primer de Kynea.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Near-Square Prime» a MathWorld (en anglès).
• Prime Database entry for Kynea(281621)