Usuari:Josepmsch/Circuit RLC

Una xarxa RLC en sèrie: una resistència, un inductor i un condensador

Un circuit RLC és un circuit elèctric format per una resistència (R), un inductor (L) i un condensador (C), connectats en sèrie o en paral·lel. El nom del circuit deriva de les lletres que s'utilitzen per a denominar els components que constitueixen el circuit, tot i que l'ordre i disposició dels components pot variar de RLC.

El circuit forma un oscil·lador harmònic de corrent, i ressona de forma similar a un circuit LC . La diferència rau en que la resistència augmenta l'atenuació de les oscil·lacions, el que es coneix com a esmorteïment. La resistència també redueix la l'amplitud del pic de ressonància. En condicions reals, certa quantitat de resistència és inevitable, fins i tot si no s'inclou una resistència com a component. Per això, els circuits LC purs només existeixen teòricament i en el domini dUn dels problemes que sovint es troba és la necessitat de tenir en compte la resistència inductora. Els inductors es construeixen típicament a partir de bobines de filferro, la resistència de les quals no sol ser desitjable, però sovint té un efecte significatiu en el circuit.e la superconductivitat. Això es deu al fet que els inductors es construeixen amb cables o traços de metall amb resistència no nul·la.

Els circuits RLC tenen moltes aplicacions com a circuits oscil·ladors . Els receptors de ràdio i els aparells de televisió els fan servir per sintonitzar un rang de freqüències concret dins de l'espectre electromagnètic. Els circuits RLC també s'utilitzen per crear filtres de passabanda, filtres de bandada eliminada, filtres passabaix i filtres passaalt. El cas anterior de sintonització de freqüències és un exemple de filtre passabanda. Els filtres RLC són circuits de segon ordre, el que significa que el voltatge o corrent del circuit pot ser descrit per una equació diferencial de segon ordre durant l'anàlisi del circuit.

Els tres elements del circuit, R, L i C, es poden combinar en diverses topologies . Els tres elements en sèrie o els tres elements en paral·lel són els més simples i fàcils d’analitzar. Hi ha, però, altres configuracions, algunes d'elles amb aplicacions pràctiques en circuits reals.

Conceptes bàsics

Ressonància

Una propietat important d’aquest circuit és la seva capacitat de ressonar a una freqüència concreta: la freqüència de ressonància f₀, mesurada en unitats d’ Hertz. Tot i això, la freqüència angular, ω₀, en unitats de radiant per segon és també molt utilitzada donada la seva conveniència matemàtica. Ambdues formes d'expressar la freqüència es relacionen mitjançant

$\omega _{0}=2\pi f_{0}\,$

La ressonància es produeix degut a la manera en com l'energia s’emmagatzema en el circuit: amb un camp elèctric en el condensador, i un camp magnètic a l'inductor. L'energia es transfereix d'un component a l'altre, fet que pot ocórrer de manera oscil·lant. Aquest fenomen és similar a l'analogia mecànica d'un pes suspès d'una molla: si el pes es deixa caure, l'energia potencial de la massa es transfereix a la molla mitjançant la seva elongació, que acabarà elevant el pes i tornant a traslladar l'energia al pes. Tant en el circuit RLC com a l'analogia es descriuen amb la mateixa equació diferencial, de manera que l'analogia es pot utilitzar en altres aspectes del circuit RLC. En aquesta analogia, la resistència fa referència a la fricció del sistema molla-massa. La fricció fa que el sistema vagi perdent energia lentament, atenuant l'oscil·lació del pes. El mateix ocorre amb el circuit RLC: la resistència dissipa l'energia del sistema, fent que el voltatge i corrent tendeixin a cero si no hi ha una font d'energia que ho eviti.

La freqüència de ressonància es defineix com la freqüència que fa que l'impedància del circuit sigui mínima quan el circuit està excitat. De manera equivalent, es pot definir com la freqüència a la que l'impedància és purament real (és a dir, purament resistiva). Això es deu al fet que les impedàncies de l’inductor i del condensador, en aquesta freqüència, són iguals, però de signe oposat i s’anul·len. Els circuits en què L i C estan en paral·lel enlloc de en sèrie tenen, al contrari, una impedància màxima en lloc d'una impedància mínima. Per aquest motiu, sovint es descriuen com a antirresonadors.

En ambdós casos la freqüència de ressonància ω₀ s'obté amb l'expressió

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~$

Aquesta és la mateixa expressió que la freqüència de ressonància d’un circuit LC, és a dir, sense resistència R. És a dir, la freqüència de ressonància d’un circuit RLC és la mateixa que la d'un circuit LC en el que no hi ha esmorteïment. Els circuits amb topologies més complexes que la sèrie o paral·lel poden tenir una freqüència de ressonància diferent.

Freqüència natural

Com s'ha vist, la freqüència de ressonància es defineix com la freqüència a la que la impedància del circuit és mínima quan aquest està sent excitat per una font de senyal. Tot i això, un cop desapareix la font de senyal, el circuit pot seguir oscil·lant. Aquesta oscil·lació romanent un cop s'ha eliminat l'excitació s'anomena freqüència natural. En general, la freqüència de ressonància i la freqüència natural no són exactament la mateixa, encara que poden ser molt similars. La freqüència natural $\omega _{n}$ depèn del factor d'amortiment $\zeta$ (vegeu següent apartat) del circuit i es defineix com

$\omega _{n}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\zeta ^{2}}}$

Un circuit altament esmorteït no ressona quan l'excitació desapareix i el seu senyal tendirà a cero, el que es coneix com a sobreamortiment. Un circuit amb una resistència que faci que el circuit estigui al límit de l'oscil·lació s'anomena circuit amb amortiment crític. En canvi, quan la resistència fa que el circuit oscil·li, aquest circuit estarà subamortit.

Amortiment

L’amortiment determina la capacitat del circuit de ressonar o no de forma natural (és a dir, sense una font de senyal) i depèn del valor de la resistència del circuit. Un mètode per saber la capacitat d'un circuit RLC de ressonar és utilitzant el factor d'amortiment $\zeta$

$\zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}\,$

On α és l'amortiment en nepers per segon i ${\omega _{0}}$és la freqüència de ressonància. En funció del factor d'amortiment es poden donar varis casos:

• $\zeta \geq 1$: sobreamortiment. Sense excitació, el senyal tendeix ràpidament a cero.
• $0<\zeta <1$: subamortiment. Quan l'excitació desapareix, el circuit segueix oscil·lant amb una amplitud decreixent.
• $\zeta =1$: amortiment crític. Límit en el que el circuit pot oscil·lar.
• $\zeta =0$: el circuit oscil·la sense pèrdua d'amplitud.

En funció de paràmetres del circuit, l'amortiment s'expressa com

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

Ample de banda

L'efecte de la ressonància es pot utilitzar per a filtrar, ja que el canvi ràpid d'impedància es pot utilitzar per bloquejar o permetre el pas de senyals, d'aquesta manera, es poden implementar filtres passabanda o banda eliminada. Un paràmetre important dels filtres és l'ample de banda, que fa referència al rang de freqüències que un filtre permet passar. L'ample de banda es defineix a partir de les freqüències de tall, que són es freqüències en les que el senyal queda atenuat a la meitat respecte la màxima amplitud dins de la banda de pas. Així, l'ample de banda queda definit com la diferència de freqüències, màxima i mínima, que compleixen el requisit esmentat:

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$

On $\Delta \omega$ és l'ample de banda en radiants per segon, $\omega _{1}$ és la freqüència de tall inferior i $\omega _{2}$ la freqüència de tall superior. L'ample de banda es relaciona amb l'amortiment amb

$\Delta \omega =2\alpha$

Així, un filtre amb una banda de pas estreta ha de tenir poc amortiment, mentre que un filtre amb un gran ample de banda ha de tenir força amortiment. Una manera alternativa d'expressar l'ample de banda és utilitzant l'ample de banda fraccional, que expressa la relació entre l'ample de banda i la seva freqüència central

$B_{f}={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}$

Aquest paràmetre sovint s'expressa en percentatge.

Factor Q

El factor Q, també anomenat factor de qualitat, és un paràmetre àmpliament utilitzat per caracteritzar resonadors. Es defineix com la divisió entre la quantitat d'energia emmagatzemada i l'energia perduda en cada cicle

$Q={\frac {E_{emmagatzemada}}{E_{perdudapercicle}}}$

Per tant, existeix una relació amb l'amortiment: circuits amb molt amortiment tindran un factor de qualitat baix i a l'inrevés. Una altra manera per obtenir el factor de qualitat és a través de la freqüència i l'ample de banda

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$

De manera que la relació indica que els circuits que tenen més amortiment tenen, també, un major ample de banda. Per aquest motiu, el factor de qualitat indica la selectivitat del filtre. A partir dels paràmetres dels components R, L i C, el factor de qualitat respon a

$Q={\frac {1}{\omega _{0}RC}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

Anàlisi de circuits RLC

Circuit RLC sèrie

Figura 1: circuit RLC sèrie

• V, voltatge de la font de tensió
• I, corrent del circuit
• R, resistència
• L, inductància de la bobina
• C, capacitat del condensador

El circuit RLC sèrie es mostra a la figura 1. Usant la llei de malles de les lleis de Kirchoff s'obté les tensions de la malla són

$V_{R}+V_{L}+V_{C}=V(t)$

On $V_{R}$, $V_{L}$ i $V_{C}$ són éls voltatges de la resistència, bobina i condensador respectivament i $V(t)$ és el voltatge en funció del temps de la font de tensió. A continuació, se substitueixen els voltatges per les equacions constitutives de cada element:

$V_{R}=RI(t)$

$V_{L}=L{\frac {dI(t)}{dt}}$

$V_{C}=V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )f\tau$

On $V(0)$ és la condició inicial de voltatge del condensador. D'aquest manera l'equació de la malla és

$RI(t)+L{\frac {dI(t)}{dt}}+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =V(t)$

Si es considera com a condició inicial del condensador $V(0)=0\ V$ i que la tensió de la font del circuit és constant, es pot procedint diferenciant tota l'expressió i dividint-la per L

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I(t)+{\frac {R}{L}}{\frac {d}{dt}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0$

On es poden fer algunes substitucions

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {d}{dt}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0$

On $\alpha$ és l'amortiment en nepers per segon i $\omega _{0}$ és la freqüència angular en radians per segon. De manera que l'amortiment i l'ample de banda són

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~$

Amb els que es pot obtenir el factor d'amortiment, que determina el tipus de transitori del senyal

$\zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$

Resposta transitòria

Si a l'equació diferencial resultant d'analitzar el circuit se li realitza la transformació de Laplace s'obté

$s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0$

Les arrels de l'equació en el domini s són

$s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}=-\omega _{0}^{2}{\biggl (}\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}{\biggr )}$

$s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}=-\omega _{0}^{2}{\biggl (}\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}{\biggr )}$

La solució general de l'equació diferencial és una exponencial per a cada arrel, de manera que

$I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$

On els coeficients $A_{1}$ i $A_{2}$ es determinen a partir de les condicions de contorn, que en aquest cas són els valors de corrent i voltatge del circuit en el moment inicial del transitori i el valor final que, presumiblement, tindran al final. La solució de l'equació diferencial és diferent en funció del valor del factor d'amortiment $\zeta$.

Solució cas sobreamortiment

En un circuit sobreamortit el factor d'amortiment compleix $\zeta >1$, de manera que la solució és

$I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}{\Bigl (}\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}{\Bigr )}t}+A_{2}e^{-\omega _{0}{\Bigl (}\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}{\Bigr )}t}$

Que es correspon amb una atenuació del transitori sense oscil·lació.