Usuari:Jsolamr/proves/Teorema de la funció oberta

En matemàtiques hi ha dos teoremes amb el nom de teorema de la funció oberta.

Anàlisis funcional

En anàlisi funcional, on també es coneix amb el nom de teorema de l'aplicació oberta, el teorema diu que si $X$i $Y$són espais de Banach i $L:X\to Y$ és una aplicació lineal, contínua i exhaustiva, aleshores $L$ és una aplicació oberta, és a dir, si $U$és un obert de $X$, aleshores necessàriament $L(U)$també és un obert de $Y$.

La demostració utilitza el teorema de la categoria de Baire.

Aquest teorema de la funció (o aplicació) oberta té dues conseqüències importants:

• Si $L:X\to Y$ és un operador lineal continu i bijectiu entre dos espais de Banach $X$i $Y$ , aleshores l'operador invers $L^{-1}:Y\to X$també és continu.

• Si $L:X\to Y$ és un operador lineal entre dos espais de Banach $X$i $Y$ i si per a cada successió $(x_{n})$ de $X$tal que $x_{n}\to 0$ i tal que $Lx_{n}\to y$ es compleix que necessàriament $y=0$, aleshores $L$és continu (teorema de la gràfica tancada).

Anàlisis complexa

A l'anàlisi complexa, el teorema de la funció oberta diu que si $\Omega$és un obert connex del pla complex $\mathbb {C}$i $f:\Omega \to \mathbb {C}$és una funció holomorfa no constant, aleshores $f$és una funció oberta, és a dir, que envia oberts de $\Omega$en oberts de $\mathbb {C}$.