Usuari:Jsolamr/proves/Teorema de la gràfica tancada

En Matemàtiques, concretament en Anàlisi Funcional, el teorema de la gràfica tancada és un dels resultats bàsics. El seu enunciat és el següent:

Si $X$ i $Y$són espais de Banach i $T:X\to Y$ és un operador lineal, aleshores $T$ és continu si i sols si la seva gràfica $G(T)=\{(x,y)\in X\times Y;y=Tx\}$ és un subconjunt tancat de $X\times Y$, amb la topologia producte.

La demostració habitual es basa en el teorema de l'aplicació oberta.

Per definició, els operadors que tenen gràfica tancada reben el nom d'operadors tancats. A causa del teorema de la gràfica tancada, aquesta definició només és rellevant quan l'operador $T$ només està definit en un subespai $D(T)\subset X$, que rep el nom de domini de $T$. Un exemple molt típic seria l'operador derivada, amb $X=Y={\mathcal {C}}[a,b]$, que és tancat, però que $D(T)={\mathcal {C}}^{1}[a,b]$. Si no hi ha confusió, de vegades aquests operadors s'anomenen tancats no fitats.