Usuari:Kururu966/proves

Principi de funcionament

En el context de l'òptica de Fourier, una xarxa de difracció pot ser modelada com un cert material amb transmissió $t(x,y)$. Aquesta funció pot ser sempre descrita per una sèrie de Fourier. Si suposem a més que la variació es dóna respecte una direcció només, $t(x,y)=t(x)$, i que aquesta variació té un període fonamental $d$, podem escriure

$t(x)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\frac {2\pi inx}{d}}$

on $i={\sqrt {-1}}$. Una ona plana incident sobre aquesta xarxa, formant un angle $\alpha$ respecte l'eix z, pot escriure's de la següent forma (assumint que ens trobem al buit):

$U(x,z)=U_{0}\mathrm {e} ^{ik(x\sin \alpha +z\cos \alpha )}$

on $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, essent $\lambda$ la longitud d'ona en el buit. Si la xarxa es troba a $z=0$, el patró de difracció de Fraunhoffer a una distància $R$ vindrà donat per:

$U_{\infty }(x',y')={\frac {\mathrm {e} ^{ikR}}{i\lambda R}}\iint _{-\infty }^{+\infty }U(x,y)t(x)\mathrm {e} ^{-{\frac {ik}{R}}(xx'+yy')}dxdy={\frac {\mathrm {e} ^{ikR}}{i\lambda R}}U_{0}\iint _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{ikx\cos \alpha }\sum _{m=-\infty }^{+\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\frac {2\pi inx}{d}}\mathrm {e} ^{-{\frac {ik}{R}}(xx'+yy')}dxdy$

Aquesta és una integral de termes unimodulars oscil·latoris. Per tant, només assolirà valors no negligibles si i només si els exponents s'anul·len entre sí. Directament de l'expressió anterior, trobem la següent igualtat:

$kx\sin \alpha +{\frac {2\pi mx}{d}}-{\frac {kxx'}{R}}=0$

En l'aproximació de Fraunhoffer, on les dimensions transversals del pla situat a una distància $R$ són negligibles comparades amb aquesta distància, podem fer la següent aproximació

${\frac {x'}{R}}\approx \sin \theta$

on $\theta$ és l'angle que formaria un raig de llum provinent del centre de la xarxa amb el punt d'observació $x'$ a la distància $R$. Com que la igualtat dels exponents s'ha de donar independentment del punt $x$ on incideixi l'ona, podem eliminar-la per arribar a la següent expressió (amb la substitució de $k$ en termes de la longitud d'ona>

$d(\sin \theta -\sin \alpha )=m\lambda$

Aquesta és la fórmula més general d'una xarxa de difracció. En les aplicacions més habituals l'angle d'incidència de l'ona es fixa a $\alpha =0$, tot resultant en la més habitual relació

$d\sin \theta =m\lambda$

L'anàlisi fet en l'aproximació escalar de l'òptica ens permet també estudiar com l'energia es disposa segons els diferents ordres $m$ de la difracció. Com que els ordres reforçats es troben en angles diferents, podem suposar que la intensitat total de llum és la suma de les intensitats de cada ordre. Tenint en compte que la intensitat de l'ona és proporcional al mòdul al quadrat de l'amplitud, podem veure que la intensitat de l'ordre $m$-èssim és:

$I_{m}\propto \vert c_{m}\vert ^{2}$

Amb aquesta relació, podem dissenyar una xarxa de difracció a partir dels coeficients de Fourier que desitgem per tal de reforçar els ordres que ens interessin. Degut a les propietats de les sèries de Fourier, si el coeficient $m$ té el mòdul més gran, la resta de coeficients només en podran tenir un d'igual o inferior. Això físicament no és res més que la conservació de l'energia, de forma que en reforçar un ordre la resta se'n veuen afeblits.